這幾天學了一個樹鏈剖分，覺得還不是很難，這里我試著講一講吧。

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首先，我認為樹鏈剖分是把在樹上一個節點一個節點的走改為按照某種規則跳，從而降低了時間復雜度。

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那這是什么規則呢？

首先我們得知道什么是重鏈，知道什么是重鏈就得先知道什么是重兒子，重兒子就是子樹較大的兒子。然后對于一個點，我們總是往他的重兒子走，這樣就構成了重鏈，那么剩下的就是輕鏈。

放張圖直觀些

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然后我們同樣可以對樹進行dfs，只不過重兒子優先，這樣我們也得到了一個dfs序，于是我們把樹上問題成功轉化成了線性問題。接著就可以用線段樹等數據結構維護了。

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那就拿這道板子體為例：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3384

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首先是兩遍dfs，第一遍dfs維護子樹大小size[]，節點深度dep[]，重兒子son[]，以及一個節點的父親節點（因為如果跳到了一條鏈的頂端，就要再自己走到他的父親節點）。

1 void dfs1(int now) 2 { 3 vis[now] = 1; 4 size[now] = 1; 5 for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i) 6 { 7 if(!vis[v[now][i]]) 8 { 9 dep[v[now][i]] = dep[now] + 1; 10 fa[v[now][i]] = now; 11 dfs1(v[now][i]); 12 size[now] += size[v[now][i]]; 13 if(!son[now] || size[son[now]] < size[v[now][i]]) son[now] = v[now][i]; 14 //如果沒有重兒子，或者當前子樹大小大于重兒子的子樹大小，就更新重兒子 15 } 16 } 17 }

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第二遍dfs是維護dfs序dfsx[]，每一條鏈的頂端是哪一個節點。但我們還要在維護一個pos[]，因為當我們將樹轉化成線性后，用線段樹建樹的時候需要添加節點，而這個節點的編號是dfs序的編號，所以需要再用一個數組記錄dfs序的編號所對應的樹上節點編號。

1 int cnt = 0, dfsx[maxn], pos[maxn], top[maxn]; 2 void dfs2(int now) 3 { 4 //dfsx[]因為智慧更新一次，所以可以當做vis[]用 5 dfsx[now] = ++cnt; pos[cnt] = now; 6 if(son[now]) 7 { 8 top[son[now]] = top[now]; 9 dfs2(son[now]); //優先走重兒子，保證一條鏈在dfs序上的編號是連續的 10 } 11 for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i) 12 { 13 if(!dfsx[v[now][i]] && son[now] != v[now][i]) //再走不是重兒子的節點 14 { 15 top[v[now][i]] = v[now][i]; //輕兒子所在的鏈只有他自己一個節點，所以頂端節點就是他自己 16 dfs2(v[now][i]); 17 } 18 } 19 }

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這兩個預處理完事后就可以看看題了。

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第一個詢問，將樹從x到y結點最短路徑上所有節點的值都加上z。

首先我們要將x，y移到同一條鏈上，具體操作就是如果其中一個點所在鏈的頂端的深度更低，就將他跳到鏈的頂端，并更新他到頂端節點的區間。

移到同一條鏈上后，就更新這兩個點的區間就行了

1 void pathUpdate(int x, int y, int z) 2 { 3 while(top[x] != top[y]) //先把這倆搞到一條鏈上 4 { 5 if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y); //默認讓x跳 6 update(dfsx[top[x]], dfsx[x], 1, z); 7 x = fa[top[x]]; 8 } 9 if(dfsx[x] > dfsx[y]) swap(x, y); 10 update(dfsx[x], dfsx[y], 1, z); 11 }

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操作2： 求樹從x到y結點最短路徑上所有節點的值之和

和修改一樣，先把兩點移到同一條鏈上，然后計算跳的點在該鏈上的貢獻

1 ll pathQuery(int x, int y) 2 { 3 ll ret = 0; 4 while(top[x] != top[y]) 5 { 6 if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y); 7 ret += query(dfsx[top[x]], dfsx[x], 1); ret %= mod; 8 x = fa[top[x]]; 9 } 10 if(dfsx[x] > dfsx[y]) swap(x, y); 11 ret += query(dfsx[x], dfsx[y], 1); ret %= mod; 12 return ret; 13 }

操作3： 將以x為根節點的子樹內所有節點值都加上z

值得一提的是，盡管我們在維護dfs序時是重鏈優先遍歷，但仍滿足一個節點以及他的子樹在dfs序上是一段長為子樹大小的連續區間，自己畫一畫就明白了

這里和查詢放一塊

1 void sbtUpdate(int x, int z) 2 { 3 update(dfsx[x], dfsx[x] + size[x] - 1, 1, z); 4 } 5 ll sbtQuery(int x) 6 { 7 return query(dfsx[x], dfsx[x] + size[x] - 1, 1); 8 }

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這樣板子就寫完了，是不是很簡單？

然后最重要的一件事是別忘了取模，而且每一個運算后都要取，否則你就可能70分代碼debug一小時……

1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<algorithm> 6 #include<vector> 7 #include<cctype> 8 using namespace std; 9 #define enter printf("\n") 10 #define space printf(" ") 11 typedef long long ll; 12 const int INF = 0x3f3f3f3f; 13 const int maxn = 1e5 + 5; 14 inline ll read() 15 { 16 ll ans = 0; 17 char ch = getchar(), last = ' '; 18 while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();} 19 while(isdigit(ch)) 20 { 21 ans = ans * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); 22 } 23 if(last == '-') ans = -ans; 24 return ans; 25 } 26 inline void write(ll x) 27 { 28 if(x < 0) x = -x, putchar('-'); 29 if(x >= 10) write(x / 10); 30 putchar('0' + x % 10); 31 } 32 33 int n, m, s, mod; 34 int a[maxn]; 35 vector<int> v[maxn]; 36 37 bool vis[maxn]; 38 int fa[maxn], son[maxn], size[maxn], dep[maxn]; 39 void dfs1(int now) 40 { 41 vis[now] = 1; 42 size[now] = 1; 43 for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i) 44 { 45 if(!vis[v[now][i]]) 46 { 47 dep[v[now][i]] = dep[now] + 1; 48 fa[v[now][i]] = now; 49 dfs1(v[now][i]); 50 size[now] += size[v[now][i]]; 51 if(!son[now] || size[son[now]] < size[v[now][i]]) son[now] = v[now][i]; 52 //如果沒有重兒子，或者當前子樹大小大于重兒子的子樹大小，就更新重兒子 53 } 54 } 55 } 56 //第二遍dfs是維護dfs序dfsx[]，每一條鏈的頂端是哪一個節點 57 58 int cnt = 0, dfsx[maxn], pos[maxn], top[maxn]; 59 void dfs2(int now) 60 { 61 //dfsx[]因為智慧更新一次，所以可以當做vis[]用 62 dfsx[now] = ++cnt; pos[cnt] = now; 63 if(son[now]) 64 { 65 top[son[now]] = top[now]; 66 dfs2(son[now]); //優先走重兒子，保證一條鏈在dfs序上的編號是連續的 67 } 68 for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i) 69 { 70 if(!dfsx[v[now][i]] && son[now] != v[now][i]) //再走不是重兒子的節點 71 { 72 top[v[now][i]] = v[now][i]; //輕兒子所在的鏈只有他自己一個節點，所以頂端節點就是他自己 73 dfs2(v[now][i]); 74 } 75 } 76 } 77 78 int l[maxn << 2], r[maxn << 2]; 79 ll sum[maxn << 2], lazy[maxn << 2]; 80 void build(int L, int R, int now) 81 { 82 l[now] = L; r[now] = R; 83 if(L == R) {sum[now] = a[pos[L]]; return;} 84 int mid = (L + R) >> 1; 85 build(L, mid, now << 1); 86 build(mid + 1, R, now << 1 | 1); 87 sum[now] = (sum[now << 1] + sum[now << 1 | 1]) % mod; 88 } 89 void pushdown(int now) 90 { 91 if(lazy[now]) 92 { 93 lazy[now << 1] += lazy[now]; lazy[now << 1] %= mod; 94 lazy[now << 1 | 1] += lazy[now]; lazy[now << 1 | 1] %= mod; 95 sum[now << 1] += (ll)(r[now << 1] - l[now << 1] + 1) * lazy[now]; sum[now << 1] %= mod; 96 sum[now << 1 | 1] += (ll)(r[now << 1 | 1] - l[now << 1 | 1] + 1) * lazy[now]; sum[now << 1 | 1] %= mod; 97 lazy[now] = 0; 98 } 99 } 100 void update(int L, int R, int now, int d) 101 { 102 if(L == l[now] && R == r[now]) 103 { 104 sum[now] += (ll)(r[now] - l[now] + 1) * d; sum[now] %= mod; 105 lazy[now] += d; lazy[now] %= mod; 106 return; 107 } 108 pushdown(now); 109 int mid = (l[now] + r[now]) >> 1; 110 if(R <= mid) update(L, R, now << 1, d); 111 else if(L > mid) update(L, R, now << 1 | 1, d); 112 else {update(L, mid, now << 1, d); update(mid + 1, R, now << 1 | 1, d);} 113 sum[now] = sum[now << 1] + sum[now << 1 | 1]; 114 } 115 ll query(int L, int R, int now) 116 { 117 if(L == l[now] && R == r[now]) return sum[now]; 118 pushdown(now); 119 int mid = (l[now] + r[now]) >> 1; 120 if(R <= mid) return query(L, R, now << 1); 121 else if(L > mid) return query(L, R, now << 1 | 1); 122 else return (query(L, mid, now << 1) + query(mid + 1, R, now << 1 | 1)) % mod; 123 } 124 125 void pathUpdate(int x, int y, int z) 126 { 127 while(top[x] != top[y]) //先把這倆搞到一條鏈上 128 { 129 if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y); //默認讓x跳 130 update(dfsx[top[x]], dfsx[x], 1, z); 131 x = fa[top[x]]; 132 } 133 if(dfsx[x] > dfsx[y]) swap(x, y); 134 update(dfsx[x], dfsx[y], 1, z); 135 } 136 ll pathQuery(int x, int y) 137 { 138 ll ret = 0; 139 while(top[x] != top[y]) 140 { 141 if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y); 142 ret += query(dfsx[top[x]], dfsx[x], 1); ret %= mod; 143 x = fa[top[x]]; 144 } 145 if(dfsx[x] > dfsx[y]) swap(x, y); 146 ret += query(dfsx[x], dfsx[y], 1); ret %= mod; 147 return ret; 148 } 149 150 void sbtUpdate(int x, int z) 151 { 152 update(dfsx[x], dfsx[x] + size[x] - 1, 1, z); 153 } 154 ll sbtQuery(int x) 155 { 156 return query(dfsx[x], dfsx[x] + size[x] - 1, 1); 157 } 158 159 int main() 160 { 161 n = read(); m = read(); s = read(); mod = read(); 162 for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(); 163 for(int i = 1 ; i < n; ++i) 164 { 165 int a = read(), b = read(); 166 v[a].push_back(b); v[b].push_back(a); 167 } 168 dfs1(s); 169 top[s] = s; dfs2(s); 170 build(1, n, 1); 171 for(int i = 1; i <= m ; ++i) 172 { 173 int d = read(); 174 if(d == 1) 175 { 176 int x = read(), y = read(), z = read(); 177 pathUpdate(x, y, z); 178 } 179 else if(d == 2) 180 { 181 int x = read(), y = read(); 182 write(pathQuery(x, y)); enter; 183 } 184 else if(d == 3) 185 { 186 int x = read(), z = read(); 187 sbtUpdate(x, z); 188 } 189 else 190 { 191 int x = read(); 192 write(sbtQuery(x)); enter; 193 } 194 } 195 return 0; 196 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/mrclr/p/9375402.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的树链剖分入门的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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