前言

圖像處理中有三種常用的插值算法：

• 最鄰近插值

• 雙線性插值

• 雙立方（三次卷積）插值

其中效果最好的是雙立方（三次卷積）插值，本文介紹它的原理以及使用

如果想先看效果和源碼，可以拉到最底部

本文的契機是某次基于canvas做圖像處理時，發(fā)現(xiàn)canvas自帶的縮放功能不盡人意，于是重溫了下幾種圖像插值算法，并整理出來。

為何要進行雙立方插值

• 對圖像進行插值的目的是為了獲取縮小或放大后的圖片

• 常用的插值算法中，雙立方插值效果最好

• 本文中介紹雙立方插值的一些數(shù)學(xué)理論以及實現(xiàn)

雙立方和三次卷積只是這個插值算法的兩種不同叫法而已，可以自行推導(dǎo)，會發(fā)現(xiàn)最終可以將求值轉(zhuǎn)化為卷積公式

另外，像Photoshop等圖像處理軟件中也有這三種算法的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)理論

雙立方插值計算涉及到16個像素點，如下圖

簡單分析如下：

• 其中P00代表目標插值圖中的某像素點(x, y)在原圖中最接近的映射點

  • 譬如映射到原圖中的坐標為(1.1, 1.1)，那么P00就是(1, 1)

• 而最終插值后的圖像中的(x, y)處的值即為以上16個像素點的權(quán)重卷積之和

下圖進一步分析

如下是對圖的一些簡單分析

• 譬如計算插值圖中(distI, distJ)處像素的值

• 首先計算它映射到原圖中的坐標(i + v, j + u)

• 也就是說，卷積計算時，p00點對應(yīng)(i, j)坐標

• 最終，插值后的圖中(distI, distJ)坐標點對應(yīng)的值是原圖中(i, j)處鄰近16個像素點的權(quán)重卷積之和

  • i, j的范圍是[i - 1, i + 2]，[j - 1, j + 2]

卷積公式

• 設(shè)采樣公式為S(x)

• 原圖中每一個(i, j)坐標點的值得表達式為f(i, j)

• 插值后對應(yīng)坐標的值為F(i + v, j + u)（這個值會作為(distI, distJ)坐標點的值）

那么公式為：

等價于(可自行推導(dǎo))

提示

一定要區(qū)分本文中v, u和row, col的對應(yīng)關(guān)系，v代表行數(shù)偏差，u代表列數(shù)偏差（如果混淆了，會造成最終的圖像偏差很大）

如何理解卷積？

這是大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，推薦看看這個答案如何通俗易懂的解釋卷積-知乎

采樣公式

在卷積公式中有一個S(x)，它就是關(guān)鍵的卷積插值公式

不同的公式，插值效果會有所差異（會導(dǎo)致加權(quán)值不一樣）

本文中采用WIKI-Bicubic interpolation中給出的插值公式：

公式中的特點是：

• S(0) = 1

• S(n) = 0(當n為整數(shù)時)

• 當x超出范圍時，S(x)為0

• 當a取不同值時可以用來逼近不同的樣條函數(shù)（常用值-0.5, -0.75）

當a取值為-1

公式如下：

此時，逼近的函數(shù)是y = sin(x*PI)/(x*PI)，如圖

當a取值為-0.5

公式如下：

此時對應(yīng)三次Hermite樣條

不同a的簡單對比

推導(dǎo)

可參考：

• 圖像處理（一）bicubic解釋推導(dǎo)

• WIKI-Bicubic interpolation

關(guān)于網(wǎng)上的一些推導(dǎo)公式奇怪實現(xiàn)

在網(wǎng)上查找了不少相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)有不少文章中都用到了以下這個奇怪的公式（譬如百度搜索雙立方插值）

一般這些文章中都聲稱這個公式是用來近似y = sin(x*PI)/(x)

但事實上，進過驗證，它與y = sin(x*PI)/(x)相差甚遠（如上圖中是將sin函數(shù)縮放到合理系數(shù)后比對）

由于類似的文章較多，年代都比較久遠，無從得知最初的來源

可能是某文中漏掉了分母的PI，亦或是這個公式只是某文自己實現(xiàn)的一個采樣公式，與sin無關(guān)，然后被誤傳了。

這里都無從考據(jù)，僅此記錄，避免疑惑。

另一種基于系數(shù)的實現(xiàn)

可以參考：圖像處理（一）bicubic解釋推導(dǎo)

像這類的實現(xiàn)就是直接計算最原始的系數(shù)，然后通過16個像素點計算不同系數(shù)值，最終計算出目標像素

本質(zhì)是一樣的，只不過是沒有基于最終的卷積方程計算而已（也就是說在原始理論階段沒有推成插值公式，而是直接解出系數(shù)并計算）。

代碼實現(xiàn)在github項目中可看到，參考最后的開源項目

代碼實現(xiàn)

以下是JavaScript代碼實現(xiàn)的插值核心方程

/*** 采樣公式的常數(shù)A取值,調(diào)整銳化與模糊* -0.5 三次Hermite樣條* -0.75 常用值之一* -1 逼近y = sin(x*PI)/(x*PI)* -2 常用值之一*/ const A = -0.5;function interpolationCalculate(x) {const absX = x > 0 ? x : -x;const x2 = x * x;const x3 = absX * x2;if (absX <= 1) {return 1 - (A + 3) * x2 + (A + 2) * x3;} else if (absX <= 2) {return -4 * A + 8 * A * absX - 5 * A * x2 + A * x3;}return 0; }

以上是卷積方程的核心實現(xiàn)。下面則是一套完整的實現(xiàn)

/*** 采樣公式的常數(shù)A取值,調(diào)整銳化與模糊* -0.5 三次Hermite樣條* -0.75 常用值之一* -1 逼近y = sin(x*PI)/(x*PI)* -2 常用值之一*/ const A = -1;function interpolationCalculate(x) {const absX = x >= 0 ? x : -x;const x2 = x * x;const x3 = absX * x2;if (absX <= 1) {return 1 - (A + 3) * x2 + (A + 2) * x3;} else if (absX <= 2) {return -4 * A + 8 * A * absX - 5 * A * x2 + A * x3;}return 0; }function getPixelValue(pixelValue) {let newPixelValue = pixelValue;newPixelValue = Math.min(255, newPixelValue);newPixelValue = Math.max(0, newPixelValue);return newPixelValue; }/*** 獲取某行某列的像素對于的rgba值* @param {Object} data 圖像數(shù)據(jù)* @param {Number} srcWidth 寬度* @param {Number} srcHeight 高度* @param {Number} row 目標像素的行* @param {Number} col 目標像素的列*/ function getRGBAValue(data, srcWidth, srcHeight, row, col) {let newRow = row;let newCol = col;if (newRow >= srcHeight) {newRow = srcHeight - 1;} else if (newRow < 0) {newRow = 0;}if (newCol >= srcWidth) {newCol = srcWidth - 1;} else if (newCol < 0) {newCol = 0;}let newIndex = (newRow * srcWidth) + newCol;newIndex *= 4;return [data[newIndex + 0],data[newIndex + 1],data[newIndex + 2],data[newIndex + 3],]; }function scale(data, width, height, newData, newWidth, newHeight) {const dstData = newData;// 計算壓縮后的縮放比const scaleW = newWidth / width;const scaleH = newHeight / height;const filter = (dstCol, dstRow) => {// 源圖像中的坐標（可能是一個浮點）const srcCol = Math.min(width - 1, dstCol / scaleW);const srcRow = Math.min(height - 1, dstRow / scaleH);const intCol = Math.floor(srcCol);const intRow = Math.floor(srcRow);// 計算u和vconst u = srcCol - intCol;const v = srcRow - intRow;// 真實的index，因為數(shù)組是一維的let dstI = (dstRow * newWidth) + dstCol;dstI *= 4;// 存儲灰度值的權(quán)重卷積和const rgbaData = [0, 0, 0, 0];// 根據(jù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，16個點的f1*f2加起來是趨近于1的（可能會有浮點誤差）// 因此就不再單獨先加權(quán)值，再除了// 16個鄰近點for (let m = -1; m <= 2; m += 1) {for (let n = -1; n <= 2; n += 1) {const rgba = getRGBAValue(data,width,height,intRow + m,intCol + n,);// 一定要正確區(qū)分 m,n和u,v對應(yīng)的關(guān)系，否則會造成圖像嚴重偏差（譬如出現(xiàn)噪點等）// F(row + m, col + n)S(m - v)S(n - u)const f1 = interpolationCalculate(m - v);const f2 = interpolationCalculate(n - u);const weight = f1 * f2;rgbaData[0] += rgba[0] * weight;rgbaData[1] += rgba[1] * weight;rgbaData[2] += rgba[2] * weight;rgbaData[3] += rgba[3] * weight;}}dstData[dstI + 0] = getPixelValue(rgbaData[0]);dstData[dstI + 1] = getPixelValue(rgbaData[1]);dstData[dstI + 2] = getPixelValue(rgbaData[2]);dstData[dstI + 3] = getPixelValue(rgbaData[3]);};// 區(qū)塊for (let col = 0; col < newWidth; col += 1) {for (let row = 0; row < newHeight; row += 1) {filter(col, row);}} }export default function bicubicInterpolation(imgData, newImgData) {scale(imgData.data,imgData.width,imgData.height,newImgData.data,newImgData.width,newImgData.height);return newImgData; }

運行效果

分別用三種算法對一個圖進行放大，可以明顯的看出雙立方插值效果最好

最臨近插值

雙線性插值

雙立方（三次卷積）插值

開源項目

這個項目里用JS實現(xiàn)了幾種插值算法，包括（最鄰近值，雙線性，三次卷積-包括兩種不同實現(xiàn)等）

https://github.com/dailc/image-process

附錄

參考資料

• Bicubic interpolation

• 圖像處理（一）bicubic解釋推導(dǎo)

• 【圖像縮放篇之二】二次線性插值和三次卷積插值

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/dailc/p/7774145.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【图像缩放】双立方（三次）卷积插值的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。