B樹、B++樹和Trie樹

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B樹

定義：一個非空M元（也稱M階）B樹（R.Bayer，1970年）

滿足下列條件：

1）每個結點含有m個元素a1＜a2＜…＜am。含有m個元素的結點有m+1個子樹，m稱為結點長度

2）結點長度m滿足：

???? 根結點，1≤m≤M-1???? 可以有2~M個子樹

???? 非根結點，?M/2?-1≤m≤M-1?

????????????????????????? 可以有?M/2?~M個子樹

3）結點結構中：

?? pi（i=0，1，…，m）是指向第i個子樹的指針

?? ai（i=1，…，m）是結點值

對于非葉結點，第0個子樹上所有元素都小于a1

第i個子樹上的元素x滿足ai＜x＜ai+1（1≤i≤m-1）

第m個子樹上所有元素都大于am

4）所有的葉均在同一層上

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B樹的查找

查找元素x的步驟大致如下：

步驟1）如果當前結點為空，則查找失敗

步驟2）在當前結點中查找x

如果找到x，查找成功；??

否則

若x＜a1，沿p0遞歸向下查找

若ai＜x＜ai+1（1≤i＜m），沿pi遞歸向下查找

若x＞am，沿pm遞歸向下查找

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B樹的插入

插入步驟如下：

步驟1）用查找的方法為x找到所在位置，查找路徑終止于某個空樹，把x插在其父結點的有序位置上

步驟2）如果插入x后，結點不超長，則插入完畢；

????????????? 否則，進入下一步超長處理

步驟3）將超長結點一分為二，將“中間元素”遞歸地插在上層結點中

步驟4）若插入波及到根，當根上溢時，把根一分為二，并將中間元素上移，而產生含單元素的新根，使B樹升高。

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將超長結點d一分為二的操作方法：

1. 超長結點d的元素達M個，令k=?M/2，元素ak作為中間元素。

2. 將排在ak左側的元素和相應的指針被保留在結點d中。

3. 將排在ak右側的元素和相應的指針移入新結點e中。

4. 將ak連同指向結點e的指針一起插在d的父結點f中，排在指向結點d的指針右側。

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B樹的刪除

（1）刪除x大體步驟：

步驟1）經查找，在某一結點c中找到x

步驟2）根據x所在位置的不同，作出不同的處理

??? ①如果c是葉，直接從葉中刪除x

②如果c是非葉，需要用x的“中序前驅”代替x。

注意：

尋找x的中序前驅：

沿著x左側子樹的最右分枝一直下降到某個葉結點s，結點s中最右元素y便是x的前驅，

用y代替x（復制）后，在結點s中刪除y。

步驟3）如果刪除后d（d指的是真正刪除元素的結點）不下溢，刪除結束；否則，進入下一步下溢處理。

步驟4）如果d是根（根變空才算下溢），轉步驟9；否則，進入下一步。

步驟5）找d的鄰近兄弟e。（現在d下溢，d不是根，d的長度小于?M/2?-1）。

步驟6）如果e長度未到下限，即多于半滿（否則，進入步驟7） ，則從e中借一個元素（連同相應的指針）給d，并應適當地調整d和e之間的那個元素，刪除結束。

步驟7）將e合并到d，也就是把e中的元素，以及d和e之父f的那個“中間元素”都加到結點d中，結點e變空，刪除空結點e。（也可將d合并到e，而刪除d）。

步驟8）如果引起f下溢，令d=f轉步驟4；否則刪除結束。（因f的元素下移，使f的長度減小）

步驟9）（根的長度變為0）刪除根，B樹高度下降。

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B+樹

基本概念

（1）B+樹與B樹主要區別：

所有的數據元素都存儲在葉結點中，非葉結點僅存便于查找的索引信息（索引結點）。

1）第i個子樹上的元素x滿足a_i＜x≤a_i+1可取等號，與B樹不同。

2）葉與非葉具有不同的結點結構。葉結點中可以存放儲?K/2?~K個元素；K的可以與樹的元數M相等也可以不等。

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注意點：

將葉結點“穿成”有序鏈表。具有“兩套”查找機構。

縱向：沿樹枝進行查找；

橫向：沿鏈表順序查找。

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B+樹的插入

（1）插入x的大體步驟：

步驟1）從根結點起，沿縱向搜索路徑為x找到所在的葉結點d。如果葉d未滿，則把x插在葉d的有序位置上，插入完畢；否則，進入下一步。

步驟2）葉d已滿，葉長達到K，將d一分為二：

產生新葉e，將d的下部K/2個元素移入e，另一半留在d中。

設d的父親是f，給f加一個兒子e，e排在d之右側，將e的最小元素的值加到f中作為新索引項，如果f不超長，則插入結束；否則，進入下一步。

步驟3）將f分裂成f和g，并遞歸地將g插到上一層中。

步驟4）若插入波及到根，當根上溢時，把根一分為二，并產生新根。

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B+樹的插入示例：

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B+樹的刪除

（1）刪除x的大體步驟：

步驟1）沿根到某葉的一條路徑查找x，如果x不存在，刪除失敗，結束；否則，進入下一步。

步驟2）在x所在葉d中刪除x。如果刪除x后，葉d不下溢，則刪除結束；否則，進入下一步。

步驟3）找葉d的兄弟e。如果e處于半滿狀態，進入步驟4；

否則，從e中移一個元素給葉d。如果e在d的左側，則移的是e中最大元素；如果e在d的右側，則移的是e中最小元素，移走元素的同時，修改上層結點中的索引信息，刪除結束。

步驟4）將d合并到e。將d的所有元素都給e，刪除d，并相應的修改上層結點中的索引信息，也可將e合并到d。

步驟5）如果刪除d不引起其父f的下溢，則刪除結束；

否則，將遞歸地波及到更上層結點，或者可以向其兄弟“借”一個索引項和一個子樹，或者與其兄弟合并。如果波及根，根長度為0，刪除根，整個樹的高度下降，刪除非葉結點的大體步驟與B樹相同。

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刪除示例：

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Trie樹

組織結構：

定義：屬于數字查找樹，用于按數字或字符索引。像大型字典的“書邊標目”。

優點：

1.元素（字符串）存儲在葉結點中。

2.非葉結點只存儲一個字符作為索引。

3.從根到某個葉的路徑上字符組合成的字符串，恰是存儲于該葉中的元素值（關鍵字）。

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示例：

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轉載于:https://www.cnblogs.com/gd-luojialin/p/8509268.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的18B树、B++树和Trie树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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