【UOJ#188】Sanrd（min_25篩）

題面

UOJ

題解

今天菊開講的題目。(千古神犇陳菊開，撲通撲通跪下來)
題目要求的就是所有數的次大質因子的和。
這個部分和\(min\_25\)篩中枚舉最小值因子有異曲同工之妙。
min_25篩什么的戳這里
并且這題并沒有積性函數。
所以我們先篩出質數個數。
然后考慮如何計算答案\(S(n,1)\)
首先看初值，假設當前計算的是\(S(x,y)\)
表示的是\([1,x]\)中，所有最小質因子大于等于\(Prime_y\)的貢獻
所有質數的貢獻顯然是\(0\)，我們考慮計算合數的答案。
枚舉最小質因子以及這個質因子的次冪，在只剩下兩個質因子的時候統計答案。
既然只剩下兩個質因子，那么需要計算的就是\(x\)中所有大于等于\(Prime_y\)的質數。
因為\(S(x,y)\)一定右\(S(?,y-1)\)轉移過來
那么它的次小質因子就是\(Prime_{y-1}\)，直接計算即可。
還需要額外考慮\(p^k\)的貢獻就是\(p\)

#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; #define ll long long #define MAX 1000000 ll L,R,ans,w[MAX],g[MAX],Sqr; int id1[MAX],id2[MAX],m,pri[MAX],tot; bool zs[MAX]; void pre(int n) {for(int i=2;i<=n;++i){if(!zs[i])pri[++tot]=i;for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j){zs[i*pri[j]]=true;if(i%pri[j]==0)break;}} } ll S(ll n,ll x,int y) {if(x<=1||pri[y]>x)return 0;int k=(x<=Sqr)?id1[x]:id2[n/x];ll ret=1ll*pri[y-1]*(g[k]-y+1);for(int i=y;i<=tot&&1ll*pri[i]*pri[i]<=x;++i){ll p1=pri[i],p2=1ll*pri[i]*pri[i];for(int e=1;p2<=x;++e,p1=p2,p2*=pri[i])ret+=S(n,x/p1,i+1)+pri[i];}return ret; } ll Solve(ll n) {tot=m=0;pre(Sqr=sqrt(n));for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){j=n/(n/i);w[++m]=n/i;g[m]=w[m]-1;if(w[m]<=Sqr)id1[w[m]]=m;else id2[j]=m;}for(int j=1;j<=tot;++j)for(int i=1;i<=m&&1ll*pri[j]*pri[j]<=w[i];++i){int k=(w[i]/pri[j]<=Sqr)?id1[w[i]/pri[j]]:id2[n/(w[i]/pri[j])];g[i]-=g[k]-j+1;}return S(n,n,1); } int main() {cin>>L>>R;cout<<Solve(R)-Solve(L-1)<<endl;return 0; }

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總結

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