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编程问答

数学中各种矩阵收集（转至其他博主）

發布時間：2023/12/18 编程问答 56 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了数学中各种矩阵收集（转至其他博主）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

轉至：https://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/74169484

1、單位矩陣（Identity Matrix）

如果A矩陣可逆，其逆矩陣為A^-1，那么AA^-1 = I，這里 I 就是單位矩陣。形式上，單位矩陣 I 是一個n×n的方陣，其主對角線上的元素都是1，其余位置的元素都為0。因此，單位矩陣也可以記為： I_n = diag(1, 1, ..., 1)。

2、上三角矩陣/下三角矩陣

在線性代數中，三角矩陣是方形矩陣的一種，如下圖所示，該矩陣的下三角（不包括主對角線）的元素均為常數0，則稱其為一個上三角矩陣。

與上三角矩陣相反，如果一個矩陣的主對角線上方均為常數0，則稱該矩陣為下三角矩陣，例如：

3、Toeplitz 矩陣

Toeplitz矩陣又叫做常對角矩陣（diagonal-constant matrix），指矩陣中每條自左上至右下的斜線上之元素都為同一常數的矩陣。例如下面就是一個Toeplitz矩陣的例子：

任意n×n的Toeplitz矩陣具有如下形式：

最常見的Toeplitz矩陣是對稱Toeplitz矩陣，這種矩陣僅由第一行元素就可以完全確定。

4、Hermitian?矩陣

對于一個復矩陣A，其共軛轉置記為A*。如果A = A*，則稱為Hermitian矩陣。例如，

顯然，如果一個實矩陣是對稱的，那么它也是一個Hermitian矩陣。

此外，如果一個復Toeplitz矩陣中之元素滿足復共軛對稱關系，則稱其為Hermitian Toeplitz矩陣。

5、循環矩陣（Circulant Matrix）

循環矩陣是Toeplitz矩陣的一種特殊形式，如下所示，當給定矩陣的第一行時，矩陣的后一行都是由前一行向右循環移位得到的。

6、酉矩陣（Unitary Matrix）與正交矩陣

A ∈ M_n×n(C), A*A = AA* = I, then A is unitary; A ∈ M_n×n(R), A^TA = AA^T = I, then A is orthogonal。

7、Hessian 矩陣

形如下面樣子的矩陣，具體請參考《Hessian矩陣與多元函數極值》。

8、Vandermonde?矩陣

9、Fourier矩陣

10、拉普拉斯矩陣（Laplacian matrix）

拉普拉斯矩陣是圖論中用到的一種重要矩陣，給定一個有n個頂點的圖 G=(V,E)，其拉普拉斯矩陣被定義為 L = D-A，其中為圖的度矩陣，為圖的鄰接矩陣。例如，給定一個簡單的圖，如下（例子來自wiki百科）：

把此“圖”轉換為鄰接矩陣的形式，記為A：

把W的每一列元素加起來得到N個數，然后把它們放在對角線上（其它地方都是零），組成一個N×N的對角矩陣，記為度矩陣D，如下圖所示。其實度矩陣（對角線元素）表示的就是原圖中每個點的度數，即由該點發出的邊之數量。

根據拉普拉斯矩陣的定義L = D-A，可得拉普拉斯矩陣L 為：

顯然，拉普拉斯矩陣都是對稱的。此外，另外一種更為常用的拉普拉斯矩陣形式是正則化的拉普拉斯矩陣（Symmetric normalized Laplacian），定義為：

該矩陣中的元素由下面的式子給出：

附錄、循環矩陣的對角化

前面Part 5中介紹的循環矩陣有一個很特殊的性質，即它可以被Fourier矩陣對角化，即有：

* 8-9 來自《矩陣分析與應用》（張賢達著）

* 補充循環矩陣對角化的一個英文資料（Iterative Methods for Toeplitz Systems, Michael K. Ng, Oxford University Press）

（本文完

轉載于:https://www.cnblogs.com/ALINGMAOMAO/p/9505234.html

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