前言：dp蒟蒻拼命挽救一下dp a....，會圍繞三個“形如”來寫...但更重要的是本質理解啊qwq

A.單調隊列優化：

有時狀態轉移方程形如f[i][j]=min{f[i-1][k]}+w(i,j)，其中l(i,j)<=k<=j，l(i,j)<=l(i,j+1)。 如果兩個決策k1,k2滿足f[i-1][k1]<=f[i-1][k2]且k1>k2，那么k1出現后k2就沒用了。 維護一個隊列，按k從小到大存下所有有用的決策，f[i-1][k]是單調上升的。 每次加入新決策時，從隊列末尾刪去沒用的決策。 當隊列開頭決策的k<l(i,j)時將它刪去。（emmmmmmm這個海星，在單調性滿足情況下用單調隊列留下靠后的且較優的）

B.決策單調性優化：

首先對于所有的疑似決策單調性優化的題，最好是用打表來證明（隨便搞個大樣例或者后頭對拍一下.....一般嚴謹證明不太現實，當然也可以）這個在打O（N^2⁺）暴力時順便記錄一下gi就行了（這里gi指是從gi轉移到i的）[最好考試都要先打好暴力，然后對著暴力來想a，分析性質]

這里主要介紹兩種實現：

1.二分實現：

首先是講稿上的一些說法：

有時狀態轉移方程形如f[i]=min{f[j]+w(j,i)}，其中j<i。 記g(i)表示f[i]取到最優值時的決策點j，如果g(i)<=g(i+1)，我們可以用單調性優化dp。 同樣用一個單調隊列存下有用的決策，對于相鄰兩個決策k1<k2，我們二分求出k2比k1優的時間t(k1,k2)。加入一個新決策時，假設新決策為k3，末尾兩個決策為k1,k2。如果t(k2,k3)<=t(k1,k2)，那么可以刪去k2。 轉移時如果開頭的決策已經不優了就刪去它。

接下來補充一點自己理解的具體實現：

首先，對于所以的gi可以先標記為1（0）[視題目而定]默認為全都為從1轉移過來的，這里用一個結構體的棧來維護每個單調決策的適用范圍。

然后，我們依次考慮往后的單調決策更新，那么對于每個i我們先通過二分已經維護的單調決策的適用范圍可以算出f[i]（用線段樹啥的來刷一遍gi有點太傻了a....）同時由此我們可以得出復雜度為O（nlogn）（因為二分嘛）。

現在我們得到了新的f[i]，所以用它來更新以后的，由于單調性，我們可以從后往前掃描棧，這里有兩種情況：

(1)如果這個老決策的作用區間的起始位置（即L）仍然不如新決策優，那么我們彈出老決策，將老決策的作用區間整個合并到新決策中，繼續往前掃 ;
(2)如果不滿足前面的條件，在老決策的作用區間中二分出新決策起作用的起始位置，將老決策分割，新決策入棧，結束掃描過程?;

這里每個決策里的二分就是對于當前的m判斷f[i]+w[i,m]和f[j]+w[j,m]誰更優，若更優則i的起始范圍往前移，否則往后移；

感覺這個二分實現還挺好想的a....（霧）而且適用范圍貌似要比分治實現更廣一些（聽分治實現的時候一臉懵a...）

在這里推薦一道例題（實打代碼才有效）

bzoj4709: [Jsoi2011]檸檬?

以及代碼（咕咕咕）：

?

2.分治實現：

首先依舊是講稿上的一些說法：

有時狀態轉移方程形如f[s][i]=min{f[s-1][j]+w(s,j,i)}，其中j<i，且g(s,i)<=g(s,i+1)。 如果w(s,j,i)不能很快算出，之前的方法就不再適用了。 假設i的取值范圍是[l,r]，取m=(l+r)/2。我們可以先求出g(s,m)，然后遞歸處理[l,m-1]和[m+1,r]。

接下來依舊是補充一點自己理解的具體實現：

（咕咕咕）

轉載于:https://www.cnblogs.com/degage/p/9741156.html

總結

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