一元二次方程的回顧和啟示

學過初中數學都知道對于任何一個實系數一元二次方程

，通過配方可以得到 ，根據判別式 的符號，可以判斷方程實根的個數，并且可以得到求根公式

要么是

個不同的實根 ，要么是 個二重實根 ，要么是 對共軛虛根 ;計算重數的情況下都是 個根。

記兩根為

可以直接驗證韋達定理：

兩根之和

以及兩根之積 ，判別式 .

求根公式看上去復雜，但如果把上述兩式代入求根公式

.

注：如果

是共軛虛根， 就是純虛數，對負數 開方不能得到 .

幾何意義：記

是兩根的平均值，乘積為 . 如果 都是實根，則 是根到平均值的距離。

求根公式就可以改寫成

兩根到平均值

的距離 還可以通過下列方式得到：

不妨設

，用平方差公式得到

，立即可以算出 .

可以看到在實根的情況下

是實數軸上兩根的中點，而 是兩根到中點的距離。

如果

， 和 是共軛虛根，絕對值（長度）相等 在復平面上是 和 連線的中點（在實軸上），剛好對應由 和 作為兩鄰邊的菱形對角線的交點，是菱形水平方向對角線的一半，而 是中點到兩根的有向距離，是菱形豎直方向對角線的一半。

如果考慮一般的復系數一元二次方程呢？任何兩個復數

和 都可能是方程的兩根，因為由韋達定理可以構造出

所以

就是兩根連線的中點，但不一定在實軸上，以 和 為鄰邊構成的是一個更一般的平行四邊形， 是對角線的交點，是其中一條對角線的一半，而 是交點到兩根的有向距離，是另外一條對角線的一半。

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一元三次方程根的構造

對于實系數一元三次方程

，自然會想能不能用配方法？

這里不是配成完全平方而是完全立方：

根據前兩項兩邊同時加上

和 可以把左邊邊成完全立方，也就是 . 右邊等于

有

的一次項，不能像一元二次方程配方后可以直接開平方根得到方程的根。但這提示我們可以作變量替換 把根整體平移 個單位，得到

（或者用直接用待定系數法確定平移量）

令

，

這里就把方程化簡為了

. 從這里可以看出，配方法能做到的只是消去比方程次數少一次的那項，結合韋達定理可以知道，只不過是找到了方程的三個根的平均值，做一個平移，讓新得到的方程的三個根的平均值為0.

這里有很多種變量替換的方法求解

.

一、卡爾達諾方法(Cardano's method)

引入兩個新的變量

令 ，代入可得

令

，方程變為 .

只要

滿足 且 ，那么 就是 的根。

由第一個方程可得

，代入第二個方程得 .

兩邊同時乘以

可得 是 的一元二次方程，由求根公式可得

立方根有三個，這里取其中一個

由

得對應的 可以表示成

得到方程的一個根為

設

為單位原根滿足 ( )，可以得到另外兩個根分別為 .

注意到

， ，因此也可以用下面的替換來推導出求根公式：

二、韋達替換(Vieta's substitution)

令

，代入可得

注意到

是 的一元二次方程，所以

代回可得

上面兩種辦法都通過變量替換推導求根公式，經過長期解具體方程總結得出一般規律，比如發現三次方程的根可以表示成兩個立方根之和，有了這個根的形式的預判，求根公式就呼之欲出了。再后來Lagrange通過離散傅立葉變換統一求解低次方程，但這方法無法推廣到5次方程。

三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)

對于一般的二次方程， 根可以表示為：

其中

是根的對稱多項式， 雖然本身不是，但平方后也是根的對稱多項式，可以用基本對稱多項式表出 . 再根據韋達定理，可以推出求根公式。

對于一般的一元三次方程，記

，根可以表示為：

和 本身不是對稱多項式，但兩者立方后得到

然后兩者相加可得立方和

是根的對稱多項式，乘積

是根的對稱多項式，乘積的立方

也是根的對稱多項式。

對于一般的一元三次方程

，

對稱多項式

和 可以由基本對稱多項式

多項式表出，因此是方程系數的多項式。

也就是存在多項式

和 使得 和 . 容易看出 和 是一元二次方程 （預解式）的兩根，可以用二次方程求根公式得到，再代回下列三式就可以得到三次方程的三個根：

對于約簡后的一元三次方程

，和Cardano和Vieta方法殊途同歸，得到相同的求根公式。

把

都用根表示代進去化簡，可以得到平方根下的表達式為

展開后剛好是

的分子的相反數，也就是 ，稱之為方程的判別式，可以用來判斷方程是否有重根。

如果

， ，非實的復根一定成對出現，所以只可能是實根是重根，剩下一個根也不可能是非實的復根，所以三個根都是實根；最特殊的情況是1個三重實根（ ）。

如果

， ，一定是只有1個實根，兩個非實的共軛復根；

如果

， ，一定是3個不同實根。

對于一般的三次方程

，判別式

四、三角解法 (Trigonometric Method) 和幾何意義

如果實系數方程

有三個不同的實根 ( ，一定有 )，用求根公式表示出來會有虛數

但如果用三角函數表示出來，不僅可以避免復數，還可以看出三個根的分布。

為了利用三倍角公式

，待定系數可設 ，

代入可得

，

只需要滿足系數成比例，也就是

，解得 .

原方程變為

.

.

當然也可以取為

圓心在y軸上任意一點，半徑為

的圓上，三個點分別對應 ，三個根是這三個點在橫軸上的投影。對于一般情形圓心需要平移 ，剛好在三次函數 圖像的拐點處。

方程有3個不同的實的單根，對應函數圖像與橫軸的3個交點（均斜穿過橫軸）；函數圖像有2個轉折點(turning points)，對應一個局部最大和一個局部最小。

五、三次函數的圖像

三次函數

轉折點的數量取決于其導函數 的判別式 .

或者通過水平方向的平移消掉二次項和豎直方向上的拉伸壓縮（或者還需要沿橫軸的反射）把首項系數變為1，可以得到

， ，判別式是 ，事實上，我們有 .

可以看出如果

那么函數圖像一定有兩個轉折點（局部最大和局部最小）； 則會有一個不是轉折點的臨界點； 則沒有臨界點（沒有水平切線）。

下面不妨記

為情形(1)，這種情形一定有 ,

e.g.

.

當

時，有一個實根和一對非實的共軛復根，對應函數圖像與x軸的1個交點（斜穿過橫軸）；根據轉折點的數量又分為三種情形

情形(2)：

2個轉折點，對應一個局部最大和一個局部最小，

e.g.

；

情形(3)：

1個非轉折點的臨界點，函數在定義域

上單調，e.g. ， .

情形(4)：

0個臨界點，函數在定義域

上單調，e.g. .

當

時，又對應兩種情況：

情形(5)：

1個二重實根和1個實單根，函數圖像在二重根處與橫軸相切不穿過，在單根處斜穿過，一定有兩個轉折點，對應一個局部最大和一個局部最小，e.g.

.

情形(6)：

1個三重實根，函數圖像在三重實根處與x軸相切穿過，沒有轉折點，函數在定義域

上單調，e.g. . 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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