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本篇文章主要介紹三維空間下旋轉的三種表示形式：四元數、矩陣和歐拉角，闡述了三種旋轉表示的數學原理并且對比了它們的優缺點。目錄結構：

• 四元數
• 旋轉矩陣
• 歐拉角
• 參考

1. 四元數

四元數（Quaternion）是由愛爾蘭數學家威廉?盧云?哈密頓在1843年發現的數學概念，在圖形學中有重要的應用。在3D程序中，通常用四元數來計算3D物體的旋轉角度，與矩陣相比，四元數更加高效，占用的儲存空間更小，此外也更便于插值。

任意一個四元數可以表示為：

其中，

，注意，但是。四元數的長度（模長）表示為，通常將四元數規一化(Normalized)，即：

四元數本質上是復數（Complex Number），復數就存在一個共軛的概念。若兩個復數的實部相等，虛部互為相反數，則稱這兩個復數互為共軛（Conjugate），

的共軛復數表示為：

四元數間的運算，遵循復數間運算法則。

加減法：

與系數的乘積：

點積：

四元數點積與向量點積相似，也可以計算四元數之間的角度差，即：

四元數間的乘積不遵守交換律，表示為：

等式展開得：

其中，

任意一個四元數可以分解為向量和標量兩部分，即

，則兩個四元數的乘積有下列等式成立，具體的推導參見[2][3]：

根據歐拉旋轉定理，任何坐標系的相對定向，可以用四個數來規定。四元數原理的核心也在于：三維空間內，所有的旋轉都可以用四個數來表示。通過四元數來計算旋轉，它能減少所需的工作，并減小舍入誤差。在電腦圖形學里，四元數的插值計算是很簡單的，這有非常重要的應用價值。

圖1. 繞著指定軸的旋轉[1]

在三維空間上，物體繞著任意一條軸旋轉

度，任意一個繞著指定點的旋轉都可以表示成繞著經過該點的軸的旋轉，如圖1所示，考慮繞著點的旋轉，任意一個點經過旋轉變換后，得到新的點。用四元數表示繞著軸旋轉角度的旋轉：

其中，

。

相反，給定一個四元數

，可以計算出它表示的旋轉軸和角度，如下所示：

其中，若

，則表示繞著任意坐標軸旋轉度。

假設存在一個向量

和一個四元數，四元數可以表示一個旋轉，把向量進行旋轉變換，得到新向量，可以表示為：

把等式（10）代入等式（13），且由拉格朗日公式

，上式可以簡化為：

若對向量

進行四元數表示的旋轉的逆變換，得到新向量，可以表示為：

可以簡化為：

圖2. 線性插值

最后，介紹下四元數的球面插值。以線性插值為例，如圖2所示，在兩個向量

之間插值，得到等式，線性插值存在一個缺點是，在以為半徑的圓的曲線軌跡上不是恒速變化的。

圖3. 球面插值

四元數的球面插值（Spherical Linear Interpolation）仍然只用于表示旋轉，它是關于單位四元數構成的球表面上的操作。如圖3所示，作輔助線，經過點

作一條平行于的直線，相交于點；經過點作一條直線垂直于，并交于點； 經過點，作一條直線平行于，與交于點。易知，，則易知，即有：

同理，可以計算出：

四元數的球面插值可以表示為：

四元數廣泛的應用在3D游戲動作的旋轉表示，四元數表示旋轉不直觀，但是更健壯、更高效。四元數只有4個值，矩陣有9個，花費更少的空間和時間。當使用浮點數對矩陣進行大量的操作，浮點數的誤差就會不斷累積到矩陣，誤差的累積會使得旋轉的計算發生錯誤，四元數的計算更少，誤差也會相應的更少，也不會出現歐拉角中出現的萬向節死鎖。

2. 旋轉矩陣

在二維空間上，繞著原點，沿著逆時針方向旋轉

角，可以用的矩陣表示為：

在三維空間上，繞著

軸、軸、軸的旋轉分別用的矩陣表示，有

其中，沿著坐標軸相反的方向觀察，

表示逆時針旋轉的角度。

如果希望三維空間上的物體能繞著

軸旋轉度，旋轉中心的齊次表示為，那么該如何進行變換呢[1]？由于采用矩陣形式的變換，可以用矩陣的乘積來疊加。首先，應該進行平移變換，使點與原點重合，這一過程可以用表示；然后，進行旋轉變換；最后，再進行位移變換，返回至物體原先坐標。總的變換矩陣用表示，則可以用表示變換后的點，為：

在三維空間上，物體繞著任意一條軸旋轉

度可以用的旋轉矩陣表示[1]。任意一個繞著指定點的旋轉都可以表示成繞著經過該點的軸的旋轉，如圖1所示，考慮繞著點的旋轉，任意一個點經過旋轉變換后，得到新的點。我們可以把這樣的旋轉分解為幾個步驟：

• i. 把軸進行兩次旋轉變換，即和，使得軸與軸方向相同；
• ii. 繞著軸旋轉度，即；
• iii. 與第i步相反的旋轉變換，使得軸恢復到最初方向。

組合上述5個旋轉變換，總的變換可以表示為

把等式（21）中的變換等式代入（23）中，可以得到總的變換等式

其中，

。

相反，若給定一個旋轉矩陣

，我們也可以求出它是繞著哪條坐標軸旋轉多少度角？設

由等式（24），可以計算出旋轉的角度為

軸

三個方向的分量為

旋轉矩陣

有三個重要的性質：

• i.
• ii.
• iii.

單位四元數

，可以用矩陣形式表示為：

旋轉矩陣在圖形渲染中占據著非常重要的作用，它支持傳遞性，使用起來很簡單方便，但是不直觀，比較浪費內存，至少需要12個參數矩陣插值的實現難度很大。

3. 歐拉角

歐拉角是用于描述剛體在三維空間的朝向，它是相對于指定參考坐標系的旋轉，一個剛體的朝向，依賴于參考坐標系，按一定順序，做出的三個歐拉角的旋轉而構成的。

歐拉角包括3個旋轉，根據這3個旋轉來指定一個剛體的朝向。這3個旋轉分別繞x軸，y軸和z軸，分別稱為Pitch，Yaw和Roll，如圖4所示。歐拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋轉的順序影響結果。

Pitch

Yaw

Roll

歐拉角很重要的一個優點就是直觀，容易理解，但是也存在一些致命的缺點。旋轉的順序會影響旋轉的結果，不同的應用又可能使用不同的旋轉順序，旋轉順序無法統一。3個旋轉的角度可以不受限制，即可以是10000度，也可以是-1500度。還可能造成萬向節死鎖（Gimbal Lock）。

如圖5所示，當兩個環發生重疊的時候，就會丟失了一個自由度，也正是由于鎖的存在，無法使用歐拉角實現球面平滑的插值。萬向節死鎖可以參考[6]提供的視頻，對知識點的介紹非常的形象生動。

圖5. 萬向節死鎖

參考

[1] F. Hill, and S. Kelley. Computer Graphics Using OpenGL, 3/E, Pearson, 2007.

[2] WIKIPEDIA. “Quaternions and spatial rotation. website<https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation>

[3] WIKIPEDIA. “Quaternions.” website< https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion>.

[4] WIKIPEDIA. “Euler angles.” website< https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles>.

[5] Fletcher Dunn and Ian Parberry. 3D math primer for graphics and game development. CRC Press, 2015.

[6] Youku, “歐拉旋轉.”, website<https://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html>.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的方形物体绕中心旋转的扭力_三维旋转的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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