作者：k_ys

鏈接：基礎解系的理解_k_ys的博客-CSDN博客

以二元函數為代表解釋他們之間的關系。

1>可導不一定連續，連續不一定可導。

對于二元函數而言：可導是指的是兩個偏導數存在，偏導數是把某一自變量看作一個常數時的導數。偏導數的存在只能保證與坐標軸平行的方向上函數的極限值等于函數值（僅僅是坐標軸平行的方向），但是連續是指函數以任何方向趨近于某一定點，二元函數本身是一個平面型的，趨于某一定點是從四面八方的，而平行于坐標軸僅僅是其中的一種情況，所以可導不一定連續，同時也不能保證函數在這一點有極限，因為可以想象一下某一立體三維圖形平行于坐標軸的切線上的極限值并不能代表整個圖形的極值。至于連續不一定可導可以借鑒一元函數，如若平行于坐標軸方向的函數導數不存在（二元函數連續），也就是偏導數不存在。

2>可微必連續，可微必可導。反之不成立。

可微的性質最強，若二元函數的某一點可微，說明過該點任意垂直于XY平面的切平面與該二元曲平面的交線函數在該點連續且在該點的導函數存在，全微分是二元函數所有性質的綜合，所以可微必連續，也必可導，但反之，連續與偏導數存在僅僅是可微的部分條件，所以不能通過連續與可導來斷定可微。

引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的兩幅立體圖可很好理解一些疑問。

f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交線都是坐標軸，這兩條直線在（0，0）點滿足連續可導。（圖1）

但是f(x,y)與y=x的切平面的交線是一個像y=|x|的函數圖像，連續但是在（0，0）點不可導。（圖2）所以在（0，0）點不可微。

3>一階偏導數連續是可微的充分條件

以下用可微的定義進行證明

至于為什么可微不一定連續可以稍微借鑒以下一元函數中的存在含有第二類間斷點（震蕩間斷點）的導函數。

震蕩雖然是間斷的但是我們可以把他考慮成一種特殊的連續，當函數具有這種“連續”的極限情況，我們就可以得到可微但是偏導不連續的曲面。

例如函數f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y).個人感覺了解即可，沒必要深究。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二元偏导数存在的条件_多元函数 可导、可微、连续、一阶偏导数连续 之间关系的总结...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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