我猜題主想要的是這種效果吧？

這是一個典型的由凸包(Convex Hull)問題衍生出來的

問題。

1.凸包是什么

對包含n個點的集合S來說，凸包可以看作是所有包含這n個點的閉合半平面的交集。在在二維歐幾里得空間中，可以把凸包想象成用一根有彈性的橡皮筋恰好包住所有的點

2.如何求解凸包

1)Gift wrapping算法：假設平面內共有n個點，對點Pi(0<=i<=n),從最左邊的點i=0開始，遍歷所有的點，找到點Pi+1，使得剩下的n-2個點全部在直線PiPi+1的右邊，重復這一過程直到回到點P0。

2)Graham scan算法：找到n個點的集合S中位于最下方的點(縱坐標最小)P，分別計算剩下n-1個點與點P連線的斜率，按大小將這些點的編號排序，維護一個棧，以保存當前的凸包。按排序得到的結果，依次將點加入到棧中，如果正在考慮的點與棧頂的兩個點不是“向左轉”的，就表明當前棧頂的點并不在凸包上，而我們需要將其彈出棧，重復這一個過程直到正在考慮的點與棧頂的兩個點是“向左轉”的。判斷是不是“向左轉”使用的方法是求三點構成的三角形的有向面積，當有向面積為正是，判斷它是“向左轉”，為負時“向右轉”，等于零時三點共線。圖2中以BC為頂點，在考慮點D是發現它是向右轉的，所以點C不是凸包上的點，把它從棧中彈出

3.凸包的優點和缺點

1)優點：可以很方便地求得一個點集的邊界，適合用于3D游戲中的碰撞檢測。

2)缺點：并不能很好地描述點集的形狀。凸包不能很好地描述點集形狀

4.

由于構建凸包的算法已經十分成熟且容易，凸包問題被用來解決很多更復雜的問題，尤其是計算機科學中，其應用相當廣泛。在模式識別中，科學家發現，通過選取極值點構建凸包，可以表征某一個集合的“形狀”。然而，由于凸包本身的缺點，這種表示是相當不精確的。這也是題主發現很多凸包會重合在一起的原因。為了解決這一問題，Herbert Edelsbrunner等人于1983年提出了alpha-shape(為了方便，后文都寫作a-shape)的概念。alpha-shape可以很好地表示一個點集的形狀

要定義a-shape，首先需要引入幾個概念。

定義1：對于點集S來說，取一個足夠小且大于0的任意實數a，所有半徑為1/a且包含了全部點的圓的交集我們稱其為點集S的Postive a-hull。點集S的ostive a-hull

定義2：對于點集S來說，取一個足夠大且小于0的任意實數a，對所有半徑為-1/a的圓，若其補集包含了點集S中的所有點，對這樣的圓的補集，求它們(圓的補集)的交集，我們稱這個交集為點集S的Negative a-hull。點集S的Negative a-hull

定義3：對于點集S中的某一點p，如果存在一個半徑為1/a的圓，點p在圓上，且該圓包含了點集S中所有的點，則稱點p為點集S的a-extreme極值點。如果點集S中存在這樣的兩個a-extreme極值點p和q，使得p和q在同一個圓上，且該圓包含了點集S中的所有極值點，則稱這樣的點p和點q為一對a-neighbors。

定義4：給出一個點集S，和一個任意實數a，點集S的a-shape是由直線段連成的封閉圖形，這些直線段滿足：線段的頂點是a-extreme極值點，線段連接的兩個頂點是一對a-neighbors。

好了，這樣我們就得到了a-shape的定義了，剩下的就是如何求解a-shape。

5.a-shape的求解

在《On the shape of a set of points in the plane》一文中，Herbert Edelsbrunner證明了a-shape是Delaunay Triangulation的子集，并給出了利用Voronoi Diagrams和Delaunay Triangulation聯合求解a-shape的過程，具體如下：

1)給定一個點集S和參數a

2)構建點集S的Delaunay Triangulation，得到每一條直線段

的長度

3)構建點集S的Voronoi Diagram，利用Voronoi Diagram計算每兩個點間距離的極值

和

4)當且僅當

時，這條直線段屬于a-shape的一部分

5)計算得到所有滿足要求的直線段

，得到的圖形就是我們要求的

總結

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