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矩陣與魔方 ——魔方中的數學

孟昭旭

筆名：十日 M

上海交通大學

筆者作為魔方速擰運動的愛好者，此前就了解到魔方與線性代數有著某些關系，由于知識層面的限制，一直未能深入了解，在較為系統的學習了線性代數課程后，筆者對線性代數中的矩陣有了初步的認識和了解，因此筆者探究了魔方中蘊含的線性代數知識。鑒于能力有限，本文只探究最基礎的三階魔方與三階矩陣之間的關系。

魔方轉動與矩陣表示

1

三階魔方是一個立方體，因此我們首先以魔方中心為原點建立一個三維空間直角坐標系。? ? ? ? ? ? ? ? ??

如圖，我們可得到魔方與三維空間的對應關系，我們首先始終關注魔方的RUF角塊(即圖中的紅黃藍角塊)，則我們可將其坐標記為初始狀態s=(x，y，z)。

魔方轉動中，各個面的順時針轉動分別用R(右)，L(左)，U(上)，D(下)，F(前)，B(后)表示，逆時針轉動用字母加“ ‘ ”表示。鑒于魔方的對稱性，我們只烤慮魔方在RUF(分別對應yzx軸)方向上的轉動。

y方向(R)：

經過y軸方向順時針旋轉，我們得到第二個狀態a=(x’,y’,z’)=(z,y,-x)。

根據矩陣的乘法規則，假設存在三階矩陣R，使得R*a=S，即：

z方向(U)：

經過z軸方向順時針旋轉，我們得到第三個狀態b=(x’,y’,z’)=(-y,x,z)。同上，我們假設存在矩陣U，則有：

X方向(F)：

經過x軸方向順時針旋轉，我們得到第四個狀態c=(x’,y’,z’)=(x,-z,y)。同上，我們假設存在矩陣F，則有：

通過上面的展示，我們得到了矩陣R、U、F，我們可以利用這些3*3矩陣表示魔方的轉動。

魔方與矩陣乘法

2

有了上述魔方轉動的矩陣表達，我們不妨用矩陣乘法表示魔方的連續旋轉。

例如：

我們首先進行RU操作：

得到魔方狀態如圖。

我們再進行UR操作：

得到魔方狀態如圖。

顯然R*U≠U*R。

我們可以明顯的看到，兩次變換中魔方的狀態明顯不同，這也證明了矩陣的乘法不同于普通的數的乘法，前后兩項的順序在一般條件下不可交換，兩次同樣的旋轉操作不同的操作順序得到的魔方的狀態不同就說明了矩陣乘法的規律。

魔方與矩陣的逆

3

由第一部分可知，

同理，可計算得到

我們不妨假設復原狀態的矩陣為

，則顯然有E*s=s，即復原狀態的矩陣為三階單位矩陣。

我們發現：

而

F*F’=F’*F=E

根據可逆矩陣的定義顯然，F和F’互為逆矩陣，而在魔方的操作中，對魔方進行FF’和F’F操作魔方都會從還原態變回還原態。

再比如，我們首先對魔方進行RUR’U’,得到的魔方狀態如圖：

經過上述步驟我們容易算出

那么，我們要求該矩陣的逆，即相當于對魔方進行相應的逆操作URU’R’，經過計算得到

不難驗證，這兩個矩陣互為逆矩陣。

即在魔方旋轉中，將一種變換逆序操作所對應的矩陣就是原先變換對應矩陣的逆矩陣。

總結

從上述現象中我們可以發現，矩陣與魔方確實有著密切的聯系，二者之間存在著相互印證的關系，魔方的變換既可以由矩陣的乘法表示，又可以從魔方的變換中看出矩陣乘法的性質以及魔方與矩陣的逆的關系，其本質是由于魔方的旋轉可以看作是三維空間中的坐標變換，而矩陣本身就具有連接坐標變換的關系這一幾何意義，因而魔方的旋轉就可以看作矩陣與原坐標向量的乘法運算。

魔方作為新興的一種手指極限運動，其中所包含的數學知識遠不止矩陣這么簡單。魔方絕不僅僅只是小孩子手中的玩具，其中蘊含的豐富數學知識以及人生哲理，始終深深的吸引著我和所有的魔友，更值得我們認真的去探究與感悟。

圖片來源：

VisualCube Editor

特別鳴謝：

鳥杰魔方

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的css3魔方3乘3每层旋转_在玩魔方中学数学，原来魔方与矩阵还有这样的关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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