3 絕對圓錐曲線

在進一步了解相機標定前，有必要了解絕對圓錐曲線（Absolute Conic）這一概念。

對于一個3D空間的點x，其投影空間的坐標為：x~=[x1,x2,x3,x4]T。我們定義無窮遠處的平面用符號Π∞表示，該平面內的投影空間點坐標滿足x4=0，則位于圓錐曲線Ω上的點滿足：

{x21+x22+x23=0x4=0.(1)

令x∞=[x1,x2,x3]T是絕對圓錐曲線Ω上的點，如上圖所示。由定義可知xT∞x∞=0，同時也有x~∞=[x1,x2,x3,0]T滿足x~T∞x~∞=0。讀至此處，我們發現不管是Π∞和Ω，還是x∞和x~∞都是存粹想象出來的，很難在實際生活里找到實例，但是科學就是這么迷人，給定一個起始點，想象和求知探索的渴求卻不受其限制，直至永無止境。

讓我們再看公式(1)，如果我們令：x=x1/x3，y=x2/x3，顯而易見，位于曲線Ω上的點方程就可以寫成：x2+y2=?1，這就是一個圓方程，只不過我們所想象出來的這個虛擬圓的半徑為?1???√，當然對于了解復數（Complex number）概念的我們，這并沒什么不可。

此時，或許我們會困惑，為什么要費盡心機想象出絕對圓錐曲線呢？原因在于絕對圓錐曲線所具有的一條重要特性：對于剛體變換具有不變性，這么說是不是有點不明覺厲，那就繼續往下看。

首先簡單講一下剛體變換：只有物體的位置（平移變換）和朝向（旋轉變換）發生改變，而形狀不變，得到的變換稱為剛體變換。以三維剛體變換為例：

x=[R??t]X(2)

或者表述為：

x=RX+t???or???x=R(X+C)(3)

令H=[R0t1]，對于位于絕對圓錐曲線Ω上的點x~∞=[x∞0]，剛體變換后的點x~′∞可表示為：

x~′∞=Hx~∞=[Rx∞0](4)

則x′∞很明顯也是位于無窮遠平面上的點，而且是位于同一絕對圓錐曲線Ω上點：

x′T∞x′∞=(Rx∞)T(Rx∞)=xT∞(RTR)x∞=0(5)

令絕對圓錐曲線Ω對應的圖像稱為ω，也被簡記為IAC（Image of the absolute conic），當然這也是想象出來的~于是對于Ω上的任一點x∞，其像點m∞滿足：

m~∞=sA[R??t][x∞0]=sARx∞(6)

m~∞A?TA?1m~∞=s2xT∞RTRx∞=s2xT∞x∞=0(7)

因此，絕對圓錐曲線成像構成一個虛構曲線，并且由公式(7)可以看出，這個虛擬曲線由A?TA?1決定，這與相機的外參完全無關，而僅僅由相機內參決定?？梢栽O想，如果我們找到了絕對圓錐曲線通過相機所成的圖像，那就可以求解出相機內參。至此，我想大家也就明白為什么會提出Absolute Conic這一概念了吧。事實上，這一理論在相機自檢校標定法（Self-calibration）中作為基礎理論，十分重要。

后續文章將會為大家介紹幾種確定絕對圓錐曲線Ω對應的圖像ω的方法。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Camera Calibration 相机标定：原理简介（三）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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