為什么80%的碼農(nóng)都做不了架構(gòu)師？>>> ??

在討論「四元數(shù)」之前，我們來想想對三維直角座標而言，在物體旋轉(zhuǎn)會有何影響，可以擴充三維直角座標系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)為三角度系統(tǒng)（Three-angle system），在Game Programming Gems中有提供這麼一段：

Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.

簡單的說，三角度系統(tǒng)無法表現(xiàn)任意軸的旋轉(zhuǎn)，只要一開始旋轉(zhuǎn)，物體本身即失去對任意軸的自主性。
四元數(shù)（Quaternions）為數(shù)學(xué)家Hamilton於1843年所創(chuàng)造的，您可能學(xué)過的是複數(shù)，例如：a + b i 這樣的數(shù)，其中i * i = -1，Hamilton創(chuàng)造了三維的複數(shù)，其形式為 w + x i + y j + z k，其中i、j、k的關(guān)係如下：

i² = j² = k² = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k

假設(shè)有兩個四元數(shù)：

q₁ = w₁ + x₁ i + y₁ j + z₁ k
q₂ = w₂ + x₂ i + y₂ j + z₂ k

四元數(shù)的加法定義如下：

q₁ + q₂ = (w₁+w₂) + (x₁+x₂) i + (y₁+y₂) j + (z₁+z₂) k

四元數(shù)的乘法定義如下，利用簡單的分配律就是了：

q₁ * q₂ =

(w₁*w₂ - x₁*x₂ - y₁*y₂ - z₁*z₂) +
(w₁*x₂ + x₁*w₂ + y₁*z₂ - z₁*y₂) i +
(w₁*y₂ - x₁*z₂ + y₁*w₂ + z₁*x₂) j +
(w₁*z₂ + x₁*y₂ - y₁*x₂ + z₁*w₂) k

由於q = w + x i + y j + z k中可以分為純量w與向量x i + y j + z k，所以為了方便表示，將q表示為(S, V)，其中S表示純量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元數(shù)乘法又可以表示為：

q₁ * q₂ = (S₁ + V₁)*(S₂ + V₂) = S₁*S₂ - V₁.V₂ + V₁XV₂ + S₁*V₂ + S₂*V₁

其中V₁.V₂表示向量內(nèi)積，V₁XV₂表示向量外積。
定義四元數(shù)q = w + x i + y j +ｚ k 的norm為：

N(q) = |q| = x² + y² + z² + w²

滿足N(q) = 1的四元數(shù)集合，稱之為單位四元數(shù)（Unit quaternions）。
定義四元數(shù)定義四元數(shù)q = w + x i + y j +ｚk的共軛（Conjugate）為：

q* = 定義四元數(shù)q = w - x i - y j -ｚ k = [S - V]

定義四元數(shù)的倒數(shù)為：

1/ q = q* / N(q)

說明了一些數(shù)學(xué)，您所關(guān)心的或許是，四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)究竟有何關(guān)係，假設(shè)有一任意旋轉(zhuǎn)軸的向量A(Xa, Ya, Za)與一旋轉(zhuǎn)角度θ，如下圖所示：

可以將之轉(zhuǎn)換為四元數(shù)：

x = s * Xa
y = s * Xb
z = s * Xc
w = cos(θ/2)
s = sin(θ/2)

所以使用四元數(shù)來表示的好處是：我們可以簡單的取出旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)角度。
那麼四元數(shù)如何表示三維空間的任意軸旋轉(zhuǎn)？假設(shè)有一向量P(X, Y, Z)對著一單位四元數(shù)q作旋轉(zhuǎn)，則將P視為無純量的四元數(shù)X i + Y j + Z k，則向量的旋轉(zhuǎn)經(jīng)導(dǎo)證如下：

Rot(P) = q p q*

四元數(shù)具有純量與向量，為了計算方便，將之以矩陣的方式來表現(xiàn)四元數(shù)的乘法，假設(shè)將四元數(shù)表示如下：

q = [w, x, y, z] = [S, V]

兩個四元數(shù)相乘q" = q * q'的矩陣表示法如下所示：

若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ]，其中u為單位向量，而令q'= [S', V']為一四元數(shù)，則經(jīng)過導(dǎo)證，可以得出q * q' * q^(-1)會使得q'繞著u軸旋轉(zhuǎn)2θ。
由四元數(shù)的矩陣乘法與四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)，可以導(dǎo)證出上面的旋轉(zhuǎn)公式可以使用以下的矩陣乘法來達成：

講了這麼多，其實就是要引出上面這個矩陣乘法，也就是說如果您要讓向量(x', y', z')（w'為0）對某個單位向量軸u(x, y, z)旋轉(zhuǎn)角度2θ，則w = cosθ，代入以上的矩陣乘法，即可得旋轉(zhuǎn)後的(x", y", z")，如果為了方便，轉(zhuǎn)換矩陣的最下列與最右行會省略不寫出來，而如下所示：

關(guān)於四元數(shù)的其它說明，您可以參考 向量外積與四元數(shù) 這篇文章。
關(guān)於旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換矩陣導(dǎo)證，在Game Programming Gems第二章有詳細的說明。
關(guān)於 Gimbal lock。

轉(zhuǎn)載于:https://my.oschina.net/lyr/blog/61877

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的四元數與旋轉的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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