一、均值

定義：

設(shè)P(x)是一個(gè)離散概率分布函數(shù)自變量的取值范圍是。那么其均值被定義為：

設(shè)P(x)是一個(gè)連續(xù)概率分布函數(shù)，那么他的均值是：

性質(zhì)：

1.線性運(yùn)算：

期望服從先行性質(zhì)，因此線性運(yùn)算的期望等于期望的線性運(yùn)算：

我們可以把它推廣到任意一般情況：

2.函數(shù)的期望：

設(shè)f(x)是x的函數(shù)，則f(x)的期望為：

離散：

連續(xù)：

3.乘積的期望:

一般來說，乘積的期望不等于期望的乘積，除非變量相互獨(dú)立。因此，如果x和y相互獨(dú)立,則

期望的運(yùn)算構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)量的運(yùn)算基礎(chǔ)，因?yàn)榉讲睢f(xié)方差等統(tǒng)計(jì)量本質(zhì)上是一種特殊的期望。

設(shè)C為一個(gè)常數(shù)，X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量。以下是數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)：
1.E（C）=C
2.E（CX）=CE（X）
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4.當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)
性質(zhì)3和性質(zhì)4可以推到到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和或之積的情況。

例子：

某城市有10萬個(gè)家庭，沒有孩子的家庭有1000個(gè)，有一個(gè)孩子的家庭有9萬個(gè)，有兩個(gè)孩子的家庭有6000個(gè)，有3個(gè)孩子的家庭有3000個(gè)。求一個(gè)家庭平均小孩的數(shù)目:
思路：則此城市中任一個(gè)家庭中孩子的數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量。它可取值0，1，2，3。其中取0的概率為0.01(1000/10萬)，取1的概率0.9(9000/10萬)，取2的概率為0.06(6000/10萬)，取3的概率為0.03(3000/10萬)。它的數(shù)學(xué)期望0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一個(gè)家庭平均有小孩1.11個(gè)。用數(shù)學(xué)式子表示為E(X)=1.11。

二、方差

定義：

方差是一種特殊的期望， 被定義為：

離散型的方差：

連續(xù)型的方差：

以上兩式是一樣的，只是寫法不同。
證明：由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得

性質(zhì)：

1.設(shè)C是常數(shù)，則D（C）=0
2.設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有

3.設(shè) X 與 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則

其中協(xié)方差

特別的，當(dāng)X，Y是兩個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量（相互獨(dú)立）則

此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量之和的情況。

統(tǒng)計(jì)學(xué)意義：

方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測算離散趨勢最重要、最常用的指標(biāo)。方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，它是測算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最重要的方法。標(biāo)準(zhǔn)差為方差的算術(shù)平方根，用S表示。方差相應(yīng)的計(jì)算公式為（無偏性）。

標(biāo)準(zhǔn)差與方差不同的是，標(biāo)準(zhǔn)差和變量的計(jì)算單位相同，比方差清楚，因此很多時(shí)候我們分析的時(shí)候更多的使用的是標(biāo)準(zhǔn)差。

三、協(xié)方差

定義：

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，協(xié)方差用于衡量兩個(gè)變量的總體誤差。期望值分別為E[X]與E[Y]的兩個(gè)實(shí)隨機(jī)變量X與Y之間的協(xié)方差Cov(X,Y)定義為：

特殊情況下，當(dāng)X=Y時(shí):

從直觀上來看，協(xié)方差表示的是兩個(gè)變量總體誤差的期望。
如果兩個(gè)變量的變化趨勢一致，也就是說如果其中一個(gè)大于自身的期望值時(shí)另外一個(gè)也大于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是正值；如果兩個(gè)變量的變化趨勢相反，即其中一個(gè)變量大于自身的期望值時(shí)另外一個(gè)卻小于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是負(fù)值。
如果X與Y是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，那么二者之間的協(xié)方差就是0，因?yàn)閮蓚€(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量滿足E[XY]=E[X]E[Y]。
但是，反過來并不成立。即如果X與Y的協(xié)方差為0，二者并不一定是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

性質(zhì)：

（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；
（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常數(shù)）；
（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。
由協(xié)方差定義，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

四、相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差作為描述X和Y相關(guān)程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個(gè)量采用不同的量綱使它們的協(xié)方差在數(shù)值上表現(xiàn)出很大的差異。為此引入如下概念；

定義：

稱為隨機(jī)變量X和Y的(Pearson)相關(guān)系數(shù)。

性質(zhì)：

1.若ρXY=0，則稱X與Y不線性相關(guān)。
2.即ρXY=0的充分必要條件是Cov(X，Y)=0，亦即不相關(guān)和協(xié)方差為零是等價(jià)的。
3.相關(guān)系數(shù)ρXY取值在-1到1之間，ρXY= 0時(shí)，稱X,Y不相關(guān)；
| ρXY| = 1時(shí)，稱X,Y完全相關(guān)，此時(shí)，X,Y之間具有線性函數(shù)關(guān)系；
| ρXY| < 1時(shí)，X的變動(dòng)引起Y的部分變動(dòng)，ρXY的絕對(duì)值越大，X的變動(dòng)引起Y的變動(dòng)就越大；
| ρXY| > 0.8時(shí)稱為高度相關(guān)，當(dāng) | ρXY| < 0.3時(shí)稱為低度相關(guān)，其它時(shí)候?yàn)橹卸认嚓P(guān)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的均值、方差、协方差等定义与基本运算的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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