01

基本概念

貪心算法是指在對(duì)問(wèn)題求解時(shí)，總是做出在當(dāng)前看來(lái)是最好的選擇。也就是說(shuō)，不從整體最優(yōu)上加以考慮，只做出在某種意義上的局部最優(yōu)解。貪心算法不是對(duì)所有問(wèn)題都能得到整體最優(yōu)解，關(guān)鍵是貪心策略的選擇，選擇的貪心策略必須具備無(wú)后效性，即某個(gè)狀態(tài)以前的過(guò)程不會(huì)影響以后的狀態(tài)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。

貪心算法沒(méi)有固定的算法框架，算法設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是貪心策略的選擇。必須注意的是，貪心算法不是對(duì)所有問(wèn)題都能得到整體最優(yōu)解，選擇的貪心策略必須具備無(wú)后效性（即某個(gè)狀態(tài)以后的過(guò)程不會(huì)影響以前的狀態(tài)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。）

所以，對(duì)所采用的貪心策略一定要仔細(xì)分析其是否滿足無(wú)后效性。

02

貪心算法的基本思路

解題的一般步驟是：

1.建立數(shù)學(xué)模型來(lái)描述問(wèn)題；
2.把求解的問(wèn)題分成若干個(gè)子問(wèn)題；
3.對(duì)每一子問(wèn)題求解，得到子問(wèn)題的局部最優(yōu)解；
4.把子問(wèn)題的局部最優(yōu)解合成原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)解。

03

該算法存在的問(wèn)題

• 不能保證求得的最后解是最佳的

• 不能用來(lái)求最大值或最小值的問(wèn)題

• 只能求滿足某些約束條件的可行解的范圍

04

貪心算法適用的問(wèn)題

貪心策略適用的前提是：局部最優(yōu)策略能導(dǎo)致產(chǎn)生全局最優(yōu)解。

實(shí)際上，貪心算法適用的情況很少。一般對(duì)一個(gè)問(wèn)題分析是否適用于貪心算法，可以先選擇該問(wèn)題下的幾個(gè)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，就可以做出判斷。

05

貪心選擇性質(zhì)

所謂貪心選擇性質(zhì)是指所求問(wèn)題的整體最優(yōu)解可以通過(guò)一系列局部最優(yōu)的選擇，換句話說(shuō)，當(dāng)考慮做何種選擇的時(shí)候，我們只考慮對(duì)當(dāng)前問(wèn)題最佳的選擇而不考慮子問(wèn)題的結(jié)果。這是貪心算法可行的第一個(gè)基本要素。貪心算法以迭代的方式作出相繼的貪心選擇，每作一次貪心選擇就將所求問(wèn)題簡(jiǎn)化為規(guī)模更小的子問(wèn)題。對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題，要確定它是否具有貪心選擇性質(zhì)，必須證明每一步所作的貪心選擇最終導(dǎo)致問(wèn)題的整體最優(yōu)解。

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解包含其子問(wèn)題的最優(yōu)解時(shí)，稱此問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。問(wèn)題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問(wèn)題可用貪心算法求解的關(guān)鍵特征。

06

貪心算法的實(shí)現(xiàn)框架

從問(wèn)題的某一初始解出發(fā)：

while (朝給定總目標(biāo)前進(jìn)一步) { 利用可行的決策，求出可行解的一個(gè)解元素。 }

由所有解元素組合成問(wèn)題的一個(gè)可行解；

07

例題分析

如果大家比較了解動(dòng)態(tài)規(guī)劃，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間的相似之處。最優(yōu)解問(wèn)題大部分都可以拆分成一個(gè)個(gè)的子問(wèn)題，把解空間的遍歷視作對(duì)子問(wèn)題樹(shù)的遍歷，則以某種形式對(duì)樹(shù)整個(gè)的遍歷一遍就可以求出最優(yōu)解，大部分情況下這是不可行的。貪心算法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃本質(zhì)上是對(duì)子問(wèn)題樹(shù)的一種修剪，兩種算法要求問(wèn)題都具有的一個(gè)性質(zhì)就是子問(wèn)題最優(yōu)性(組成最優(yōu)解的每一個(gè)子問(wèn)題的解，對(duì)于這個(gè)子問(wèn)題本身肯定也是最優(yōu)的)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法代表了這一類問(wèn)題的一般解法，我們自底向上構(gòu)造子問(wèn)題的解，對(duì)每一個(gè)子樹(shù)的根，求出下面每一個(gè)葉子的值，并且以其中的最優(yōu)值作為自身的值，其它的值舍棄。而貪心算法是動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的一個(gè)特例，可以證明每一個(gè)子樹(shù)的根的值不取決于下面葉子的值，而只取決于當(dāng)前問(wèn)題的狀況。換句話說(shuō)，不需要知道一個(gè)節(jié)點(diǎn)所有子樹(shù)的情況，就可以求出這個(gè)節(jié)點(diǎn)的值。由于貪心算法的這個(gè)特性，它對(duì)解空間樹(shù)的遍歷不需要自底向上，而只需要自根開(kāi)始，選擇最優(yōu)的路，一直走到底就可以了。

話不多說(shuō)，我們來(lái)看幾個(gè)具體的例子慢慢理解它：

1.活動(dòng)選擇問(wèn)題

這是《算法導(dǎo)論》上的例子，也是一個(gè)非常經(jīng)典的問(wèn)題。有n個(gè)需要在同一天使用同一個(gè)教室的活動(dòng)a1,a2,…,an，教室同一時(shí)刻只能由一個(gè)活動(dòng)使用。每個(gè)活動(dòng)ai都有一個(gè)開(kāi)始時(shí)間si和結(jié)束時(shí)間fi 。一旦被選擇后，活動(dòng)ai就占據(jù)半開(kāi)時(shí)間區(qū)間[si,fi)。如果[si,fi]和[sj,fj]互不重疊，ai和aj兩個(gè)活動(dòng)就可以被安排在這一天。該問(wèn)題就是要安排這些活動(dòng)使得盡量多的活動(dòng)能不沖突的舉行。例如下圖所示的活動(dòng)集合S，其中各項(xiàng)活動(dòng)按照結(jié)束時(shí)間單調(diào)遞增排序。



考慮使用貪心算法的解法。為了方便，我們用不同顏色的線條代表每個(gè)活動(dòng)，線條的長(zhǎng)度就是活動(dòng)所占據(jù)的時(shí)間段，藍(lán)色的線條表示我們已經(jīng)選擇的活動(dòng)；紅色的線條表示我們沒(méi)有選擇的活動(dòng)。

如果我們每次都選擇開(kāi)始時(shí)間最早的活動(dòng)，不能得到最優(yōu)解：



如果我們每次都選擇持續(xù)時(shí)間最短的活動(dòng)，不能得到最優(yōu)解：



可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，我們的貪心策略應(yīng)該是每次選取結(jié)束時(shí)間最早的活動(dòng)。直觀上也很好理解，按這種方法選擇相容活動(dòng)為未安排活動(dòng)留下盡可能多的時(shí)間。這也是把各項(xiàng)活動(dòng)按照結(jié)束時(shí)間單調(diào)遞增排序的原因。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std; int N;struct Act{int start;int end;}act[100010];bool cmp(Act a,Act b) { return a.end<b.end; }int greedy_activity_selector() { int num=1,i=1; for(int j=2;j<=N;j++) { if(act[j].start>=act[i].end) { i=j; num++; } } return num;}int main() { int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++){scanf("%lld %lld",&act[i].start,&act[i].end);}act[0].start=-1;act[0].end=-1;sort(act+1,act+N+1,cmp);int res=greedy_activity_selector();cout<<res<<endl; }}??

2.錢幣找零問(wèn)題

這個(gè)問(wèn)題在我們的日常生活中就更加普遍了。假設(shè)1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元的紙幣分別有c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6張。現(xiàn)在要用這些錢來(lái)支付K元，至少要用多少?gòu)埣垘?#xff1f;用貪心算法的思想，很顯然，每一步盡可能用面值大的紙幣即可。在日常生活中我們自然而然也是這么做的。在程序中已經(jīng)事先將Value按照從小到大的順序排好。

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N=7;int Count[N]={3,0,2,1,0,3,5};int Value[N]={1,2,5,10,20,50,100};int solve(int money) {int num=0;for(int i=N-1;i>=0;i--){int c=min(money/Value[i],Count[i]);money=money-c*Value[i];num+=c;}if(money>0) num=-1;return num;}int main() {int money;cin>>money;int res=solve(money);if(res!=-1) cout<<res<<endl;else cout<<"NO"<<endl;}

3.再論背包問(wèn)題

在從零開(kāi)始學(xué)動(dòng)態(tài)規(guī)劃中我們已經(jīng)談過(guò)三種最基本的背包問(wèn)題：零一背包，部分背包，完全背包。很容易證明，背包問(wèn)題不能使用貪心算法。然而我們考慮這樣一種背包問(wèn)題：在選擇物品i裝入背包時(shí)，可以選擇物品的一部分，而不一定要全部裝入背包。這時(shí)便可以使用貪心算法求解了。計(jì)算每種物品的單位重量?jī)r(jià)值作為貪心選擇的依據(jù)指標(biāo)，選擇單位重量?jī)r(jià)值最高的物品，將盡可能多的該物品裝入背包，依此策略一直地進(jìn)行下去，直到背包裝滿為止。在零一背包問(wèn)題中貪心選擇之所以不能得到最優(yōu)解原因是貪心選擇無(wú)法保證最終能將背包裝滿，部分閑置的背包空間使每公斤背包空間的價(jià)值降低了。在程序中已經(jīng)事先將單位重量?jī)r(jià)值按照從大到小的順序排好。

????#include<iostream>???using namespace std; const int N=4; void knapsack(float M,float v[],float w[],float x[]); int main() { float M=50;//背包所能容納的重量 float w[]={0,10,30,20,5};//每種物品的重量 float v[]={0,200,400,100,10}; //每種物品的價(jià)值float x[N+1]={0}; //記錄結(jié)果的數(shù)組knapsack(M,v,w,x); cout<<"選擇裝下的物品比例："<<endl; for(int i=1;i<=N;i++) cout<<"["<<i<<"]:"<<x[i]<<endl; } void knapsack(float M,float v[],float w[],float x[]) { int i; //物品整件被裝下 for(i=1;i<=N;i++){ if(w[i]>M) break; x[i]=1; M-=w[i]; } //物品部分被裝下 if(i<=N) x[i]=M/w[i]; }

4.多機(jī)調(diào)度問(wèn)題

n個(gè)作業(yè)組成的作業(yè)集，可由m臺(tái)相同機(jī)器加工處理。要求給出一種作業(yè)調(diào)度方案，使所給的n個(gè)作業(yè)在盡可能短的時(shí)間內(nèi)由m臺(tái)機(jī)器加工處理完成。作業(yè)不能拆分成更小的子作業(yè)；每個(gè)作業(yè)均可在任何一臺(tái)機(jī)器上加工處理。這個(gè)問(wèn)題是NP完全問(wèn)題，還沒(méi)有有效的解法(求最優(yōu)解)，但是可以用貪心選擇策略設(shè)計(jì)出較好的近似算法(求次優(yōu)解)。當(dāng)n<=m時(shí)，只要將作業(yè)時(shí)間區(qū)間分配給作業(yè)即可；當(dāng)n>m時(shí)，首先將n個(gè)作業(yè)從大到小排序，然后依此順序?qū)⒆鳂I(yè)分配給空閑的處理機(jī)。也就是說(shuō)從剩下的作業(yè)中，選擇需要處理時(shí)間最長(zhǎng)的，然后依次選擇處理時(shí)間次長(zhǎng)的，直到所有的作業(yè)全部處理完畢，或者機(jī)器不能再處理其他作業(yè)為止。如果我們每次是將需要處理時(shí)間最短的作業(yè)分配給空閑的機(jī)器，那么可能就會(huì)出現(xiàn)其它所有作業(yè)都處理完了只剩所需時(shí)間最長(zhǎng)的作業(yè)在處理的情況，這樣勢(shì)必效率較低。在下面的代碼中沒(méi)有討論n和m的大小關(guān)系，把這兩種情況合二為一了。

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int speed[10010]; int mintime[110]; bool cmp( const int &x,const int &y) { return x>y; } int main() { int n,m; memset(speed,0,sizeof(speed)); memset(mintime,0,sizeof(mintime)); cin>>n>>m; for(int i=0;i<n;++i) cin>>speed[i]; sort(speed,speed+n,cmp); for(int i=0;i<n;++i) {*min_element(mintime,mintime+m)+=speed[i]; } cout<<*max_element(mintime,mintime+m)<<endl;}

5.小船過(guò)河問(wèn)題

POJ1700是一道經(jīng)典的貪心算法例題。題目大意是只有一艘船，能乘2人，船的運(yùn)行速度為2人中較慢一人的速度，過(guò)去后還需一個(gè)人把船劃回來(lái)，問(wèn)把n個(gè)人運(yùn)到對(duì)岸，最少需要多久。先將所有人過(guò)河所需的時(shí)間按照升序排序，我們考慮把單獨(dú)過(guò)河所需要時(shí)間最多的兩個(gè)旅行者送到對(duì)岸去，有兩種方式：

1.最快的和次快的過(guò)河，然后最快的將船劃回來(lái)；次慢的和最慢的過(guò)河，然后次快的將船劃回來(lái)，所需時(shí)間為：t[0]+2*t[1]+t[n-1]；

2.最快的和最慢的過(guò)河，然后最快的將船劃回來(lái)，最快的和次慢的過(guò)河，然后最快的將船劃回來(lái)，所需時(shí)間為：2*t[0]+t[n-2]+t[n-1]。

算一下就知道，除此之外的其它情況用的時(shí)間一定更多。每次都運(yùn)送耗時(shí)最長(zhǎng)的兩人而不影響其它人，問(wèn)題具有貪心子結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。

AC代碼：

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int main() {int a[1000],t,n,sum;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);sum=0;for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);while(n>3){sum=min(sum+a[1]+a[0]+a[n-1]+a[1],sum+a[n-1]+a[0]+a[n-2]+a[0]);n-=2;}if(n==3) sum+=a[0]+a[1]+a[2];else if(n==2) sum+=a[1];else sum+=a[0];printf("%d\n",sum);}}

6.區(qū)間覆蓋問(wèn)題

POJ1328是一道經(jīng)典的貪心算法例題。題目大意是假設(shè)海岸線是一條無(wú)限延伸的直線。陸地在海岸線的一側(cè)，而海洋在另一側(cè)。每一個(gè)小的島嶼是海洋上的一個(gè)點(diǎn)。雷達(dá)坐落于海岸線上，只能覆蓋d距離，所以如果小島能夠被覆蓋到的話，它們之間的距離最多為d。題目要求計(jì)算出能夠覆蓋給出的所有島嶼的最少雷達(dá)數(shù)目。對(duì)于每個(gè)小島，我們可以計(jì)算出一個(gè)雷達(dá)所在位置的區(qū)間。



問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何用盡可能少的點(diǎn)覆蓋這些區(qū)間。先將所有區(qū)間按照左端點(diǎn)大小排序，初始時(shí)需要一個(gè)點(diǎn)。如果兩個(gè)區(qū)間相交而不重合，我們什么都不需要做；如果一個(gè)區(qū)間完全包含于另外一個(gè)區(qū)間，我們需要更新區(qū)間的右端點(diǎn)；如果兩個(gè)區(qū)間不相交，我們需要增加點(diǎn)并更新右端點(diǎn)。

AC代碼：

#include<cmath>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;struct Point{double x;double y;}point[1000];int cmp(const void *a, const void *b) {return (*(Point *)a).x>(*(Point *)b).x?1:-1;}int main() {int n,d;int num=1;while(cin>>n>>d){int counting=1;if(n==0&&d==0) break;for(int i=0;i<n;i++){int x,y;cin>>x>>y;if(y>d){counting=-1;}double t=sqrt(d*d-y*y);//轉(zhuǎn)化為最少區(qū)間的問(wèn)題point[i].x=x-t;//區(qū)間左端點(diǎn)point[i].y=x+t;//區(qū)間右端點(diǎn)}if(counting!=-1){qsort(point,n,sizeof(point[0]),cmp);//按區(qū)間左端點(diǎn)排序double s=point[0].y;//區(qū)間右端點(diǎn)for(int i=1;i<n;i++){if(point[i].x>s)//如果兩個(gè)區(qū)間沒(méi)有重合,增加雷達(dá)數(shù)目并更新右端點(diǎn){counting++;s=point[i].y;}else if(point[i].y<s)//如果第二個(gè)區(qū)間被完全包含于第一個(gè)區(qū)間,更新右端點(diǎn){s=point[i].y;}}}cout<<"Case "<<num<<':'<<' '<<counting<<endl;num++;}}

7.銷售比賽

在學(xué)校OJ上做的一道比較好的題，這里碼一下。假設(shè)有偶數(shù)天，要求每天必須買一件物品或者賣一件物品，只能選擇一種操作并且不能不選，開(kāi)始手上沒(méi)有這種物品。現(xiàn)在給你每天的物品價(jià)格表，要求計(jì)算最大收益。首先要明白，第一天必須買，最后一天必須賣，并且最后手上沒(méi)有物品。那么除了第一天和最后一天之外我們每次取兩天，小的買大的賣，并且把賣的價(jià)格放進(jìn)一個(gè)最小堆。如果買的價(jià)格比堆頂還大，就交換。這樣我們保證了賣的價(jià)格總是大于買的價(jià)格，一定能取得最大收益。

#include<queue>#include<vector>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;long long int price[100010],t,n,res;int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin>>t;while(t--){cin>>n;priority_queue<long long int, vector<long long int>, greater<long long int> > q;res=0;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>price[i];}res-=price[1];res+=price[n];for(int i=2;i<=n-1;i=i+2){long long int buy=min(price[i],price[i+1]);long long int sell=max(price[i],price[i+1]);if(!q.empty()){if(buy>q.top()){res=res-2*q.top()+buy+sell;q.pop();q.push(buy);q.push(sell);}else{res=res-buy+sell;q.push(sell);}}else{res=res-buy+sell;q.push(sell);}} cout<<res<<endl;}}

下面我們結(jié)合數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的知識(shí)講解幾個(gè)例子。

8.Huffman編碼

這同樣是《算法導(dǎo)論》上的例子。Huffman編碼是廣泛用于數(shù)據(jù)文件壓縮的十分有效的編碼方法。我們可以有多種方式表示文件中的信息，如果用01串表示字符，采用定長(zhǎng)編碼表示，則需要3位表示一個(gè)字符，整個(gè)文件編碼需要300000位；采用變長(zhǎng)編碼表示，給頻率高的字符較短的編碼，頻率低的字符較長(zhǎng)的編碼，達(dá)到整體編碼減少的目的，則整個(gè)文件編碼需要(45×1+13×3+12×3+16×3+9×4+5×4)×1000=224000位，由此可見(jiàn)，變長(zhǎng)碼比定長(zhǎng)碼方案好，總碼長(zhǎng)減小約25%。

對(duì)每一個(gè)字符規(guī)定一個(gè)01串作為其代碼，并要求任一字符的代碼都不是其他字符代碼的前綴，這種編碼稱為前綴碼。可能無(wú)前綴碼是一個(gè)更好的名字，但是前綴碼是一致認(rèn)可的標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語(yǔ)。編碼的前綴性質(zhì)可以使譯碼非常簡(jiǎn)單：例如001011101可以唯一的分解為0,0,101,1101，因而其譯碼為aabe。譯碼過(guò)程需要方便的取出編碼的前綴，為此可以用二叉樹(shù)作為前綴碼的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：樹(shù)葉表示給定字符；從樹(shù)根到樹(shù)葉的路徑當(dāng)作該字符的前綴碼；代碼中每一位的0或1分別作為指示某節(jié)點(diǎn)到左兒子或右兒子的路標(biāo)。

從上圖可以看出，最優(yōu)前綴編碼碼的二叉樹(shù)總是一棵完全二叉樹(shù)，而定長(zhǎng)編碼的二叉樹(shù)不是一棵完全二叉樹(shù)。給定編碼字符集C及頻率分布f，C的一個(gè)前綴碼編碼方案對(duì)應(yīng)于一棵二叉樹(shù)T。字符c在樹(shù)T中的深度記為dT(c)，dT(c)也是字符c的前綴碼長(zhǎng)。則平均碼長(zhǎng)定義為：

使平均碼長(zhǎng)達(dá)到最小的前綴碼編碼方案稱為C的最優(yōu)前綴碼。??? ?

Huffman編碼的構(gòu)造方法：先合并最小頻率的2個(gè)字符對(duì)應(yīng)的子樹(shù)，計(jì)算合并后的子樹(shù)的頻率；重新排序各個(gè)子樹(shù)；對(duì)上述排序后的子樹(shù)序列進(jìn)行合并；重復(fù)上述過(guò)程，將全部結(jié)點(diǎn)合并成1棵完整的二叉樹(shù)；對(duì)二叉樹(shù)中的邊賦予0、1，得到各字符的變長(zhǎng)編碼。

POJ3253一道就是利用這一思想的典型例題。題目大意是有把一塊無(wú)限長(zhǎng)的木板鋸成幾塊給定長(zhǎng)度的小木板，每次鋸都需要一定費(fèi)用，費(fèi)用就是當(dāng)前鋸的木板的長(zhǎng)度。給定各個(gè)要求的小木板的長(zhǎng)度以及小木板的個(gè)數(shù)，求最小的費(fèi)用。以要求3塊長(zhǎng)度分別為5,8,5的木板為例：先從無(wú)限長(zhǎng)的木板上鋸下長(zhǎng)度為21的木板，花費(fèi)21；再?gòu)拈L(zhǎng)度為21的木板上鋸下長(zhǎng)度為5的木板，花費(fèi)5；再?gòu)拈L(zhǎng)度為16的木板上鋸下長(zhǎng)度為8的木板，花費(fèi)8；總花費(fèi)=21+5+8=34。利用Huffman思想，要使總費(fèi)用最小，那么每次只選取最小長(zhǎng)度的兩塊木板相加，再把這些和累加到總費(fèi)用中即可。為了提高效率，使用優(yōu)先隊(duì)列優(yōu)化，并且還要注意使用long long int保存結(jié)果。

AC代碼：

#include<queue>#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int main() {long long int sum;int i,n,t,a,b;while(~scanf("%d",&n)){priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;for(i=0;i<n;i++){scanf("%d",&t);q.push(t);}sum=0;if(q.size()==1){a=q.top();sum+=a;q.pop();}while(q.size()>1){a=q.top();q.pop();b=q.top();q.pop();t=a+b;sum+=t;q.push(t);}printf("%lld\n",sum);}}

9.Dijkstra算法

Dijkstra算法是由E.W.Dijkstra于1959年提出，是目前公認(rèn)的最好的求解最短路徑的方法，使用的條件是圖中不能存在負(fù)邊。算法解決的是單個(gè)源點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題，其主要特點(diǎn)是每次迭代時(shí)選擇的下一個(gè)頂點(diǎn)是標(biāo)記點(diǎn)之外距離源點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是bfs+貪心算法的思想。

#include<iostream>#include<algorithm>#define INF 1000#define MAX_V 100using namespace std; int main() {int V,E;int i,j,m,n;int cost[MAX_V][MAX_V];int d[MAX_V];bool used[MAX_V];cin>>V>>E;fill(d,d+V+1,INF);fill(used,used+V,false);for(i=0;i<V;i++){for(j=0;j<V;j++){if(i==j) cost[i][j]=0;else cost[i][j]=INF;}}for(m=0;m<E;m++){cin>>i>>j>>cost[i][j];cost[j][i]=cost[i][j];}cin>>n;d[n]=0;//源點(diǎn)while(true){int v=V;for(m=0;m<V;m++){ if((!used[m])&&(d[m]<d[v])) v=m;} if(v==V) break;used[v]=true;for(m=0;m<V;m++){d[m]=min(d[m],d[v]+cost[v][m]);}}for(i=0;i<V;i++){cout<<"the shortest distance between "<<n<<" and "<<i<<" is "<<d[i]<<endl;}}

10.最小生成樹(shù)算法

設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)表示為無(wú)向連通帶權(quán)圖G =(V, E) , E中每條邊(v,w)的權(quán)為c[v][w]。如果G的子圖G’是一棵包含G的所有頂點(diǎn)的樹(shù)，則稱G’為G的生成樹(shù)。生成樹(shù)的代價(jià)是指生成樹(shù)上各邊權(quán)的總和，在G的所有生成樹(shù)中，耗費(fèi)最小的生成樹(shù)稱為G的最小生成樹(shù)。例如在設(shè)計(jì)通信網(wǎng)絡(luò)時(shí)，用圖的頂點(diǎn)表示城市，用邊(v,w)的權(quán)c[v][w]表示建立城市v和城市w之間的通信線路所需的費(fèi)用，最小生成樹(shù)給出建立通信網(wǎng)絡(luò)的最經(jīng)濟(jì)方案。

構(gòu)造最小生成樹(shù)的Kruskal算法和Prim算法都利用了MST(最小生成樹(shù))性質(zhì)：設(shè)頂點(diǎn)集U是V的真子集(可以任意選取)，如果(u,v)∈E為橫跨點(diǎn)集U和V—U的邊，即u∈U，v∈V- U，并且在所有這樣的邊中，(u,v)的權(quán)c[u][v]最小，則一定存在G的一棵最小生成樹(shù)，它以(u,v)為其中一條邊。




使用反證法可以很簡(jiǎn)單的證明此性質(zhì)。假設(shè)對(duì)G的任意一個(gè)最小生成樹(shù)T，針對(duì)點(diǎn)集U和V—U，(u,v)∈E為橫跨這2個(gè)點(diǎn)集的最小權(quán)邊，T不包含該最小權(quán)邊<u, v>，但T包括節(jié)點(diǎn)u和v。將<u,v>添加到樹(shù)T中，樹(shù)T將變?yōu)楹芈返淖訄D，并且該回路上有一條不同于<u,v>的邊<u’,v’>,u’∈U,v’∈V-U。將<u’,v’>刪去，得到另一個(gè)樹(shù)T’，即樹(shù)T’是通過(guò)將T中的邊<u’,v’>替換為<u,v>得到的。由于這2條邊的耗費(fèi)滿足c[u][v]≤c[u’][v’]，故即T’耗費(fèi)≤T的耗費(fèi)，這與T是任意最小生成樹(shù)的假設(shè)相矛盾，從而得證。



Prim算法每一步都選擇連接U和V-U的權(quán)值最小的邊加入生成樹(shù)。

#include<iostream>#include<algorithm>#define MAX_V 100#define INF 1000using namespace std; int main() {int V,E;int i,j,m,n;int cost[MAX_V][MAX_V];int mincost[MAX_V];bool used[MAX_V];cin>>V>>E;fill(mincost,mincost+V+1,INF);fill(used,used+V,false);for(i=0;i<V;i++){for(j=0;j<V;j++){if(i==j) cost[i][j]=0;else cost[i][j]=INF;}}for(m=0;m<E;m++){cin>>i>>j>>cost[i][j];cost[j][i]=cost[i][j];}mincost[0]=0;int res=0;while(true){int v=V;for(m=0;m<V;m++){ if((!used[m])&&(mincost[m]<mincost[v]))v=m;} if(v==V) break;used[v]=true;res+=mincost[v];for(m=0;m<V;m++){mincost[m]=min(mincost[m],cost[v][m]);}}cout<<res<<endl;}

Kruskal算法每一步直接將權(quán)值最小的不成環(huán)的邊加入生成樹(shù)，我們借助并查集這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以完美實(shí)現(xiàn)它。

#include<iostream>#include<algorithm>#define MAX_E 100using namespace std; struct edge{int u,v,cost; };int pre[MAX_E];edge es[MAX_E];int find(int x);void initvalue(int x);bool same(int x,int y);void unite(int x,int y);bool comp(const edge& e1,const edge& e2);int main() {int V,E;int i,j,m,n;cin>>V>>E;initvalue(V);for(i=0;i<E;i++) cin>>es[i].u>>es[i].v>>es[i].cost; sort(es,es+E,comp);int res=0;for(i=0;i<E;i++){edge e=es[i];if(!same(e.u,e.v)){unite(e.u,e.v);res+=e.cost;}}cout<<res<<endl; }bool comp(const edge& e1,const edge& e2) {return e1.cost<e2.cost; }void initvalue(int x) {for(int i=0;i<x;i++) pre[i]=i;}int find(int x) {int r=x;while(pre[r]!=r) r=pre[r];int i=x,j;while(pre[i]!=r){j=pre[i];pre[i]=r;i=j;}return r;}bool same(int x,int y) {if(find(x)==find(y)) return true;else return false; }void unite(int x,int y) {int fx=find(x);int fy=find(y);if(fx!=fy) pre[fx]=fy; }

關(guān)于貪心算法的基礎(chǔ)知識(shí)就簡(jiǎn)要介紹到這里，希望能作為大家繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

-END-

猜你喜歡該不該放棄單片機(jī)，嵌入式這條路？分享GitHub上一些嵌入式相關(guān)的高星開(kāi)源項(xiàng)目GitHub真把代碼冰封北極1000年！?最 后?若覺(jué)得文章不錯(cuò)，轉(zhuǎn)發(fā)分享，也是我們繼續(xù)更新的動(dòng)力。5T資源大放送！包括但不限于：C/C++，Linux，Python，Java，PHP，人工智能，PCB、FPGA、DSP、labview、單片機(jī)、等等！在公眾號(hào)內(nèi)回復(fù)「更多資源」，即可免費(fèi)獲取，期待你的關(guān)注~長(zhǎng)按識(shí)別圖中二維碼關(guān)注 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的嵌入式必会！C语言最常用的贪心算法就这么被攻略了的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。