(1 本文約2000字，大約需要閱讀20分鐘)(2 本文適合有一定雷達及信號與系統知識基礎的讀者)

鄉親們大家好，今天的這期內容就像有錢人的生活，比較枯燥，不過能完整讀下來也確能有所收獲，本文是分析微多普勒的數學基礎，或者說研究微多普勒的必備數學工具，為后續聊微多普勒做鋪墊，也是就是(如何做好一款4D 高分辨毫米波雷達)中的Micro Doppler部分，咱們開始。

Preliminaries

剛體是指在運動中受力作用后，形狀和大小不變，而且內部各點的相對位置不變的物體。剛體是理想模型，合理的理想化模型有助于簡化復雜系統分析。分析剛體運動是后續非剛體運動分析的基礎，這是因為可以將人體等非剛體運動視作一系列剛體運動的組合，從而簡化人體等微多普勒特征分析。一般的，剛體的運動可以表述為平移和旋轉的組合。

為了描述剛體運動，需要引入局部坐標系(xyz)和全局坐標系(XYZ)，如圖1所示。其中距離向量R義為全局坐標系原點指向局部坐標系原點的有向向量。一般局部坐標系的原點定義為剛體的質量中心(重心)。

Fig 1 Two coordinate systems: the global system (X, Y, Z) and the local system (x, y, z) used to describe the motion of an object.

一般對于傳統低分辨毫米波雷達，目標通常建模為點目標，因而其速度為:

該速度一般是目標的平移速度，表征目標的宏觀運動。傳統毫米波雷達一般不分析微多普勒運動，主要原因是宏觀運動并不表達目標微觀運動結構信息；而對于高分辨雷達，目標通常建模為擴展目標，也就是

(表示為目標散射點集合(粒子集))，令rk坐標系下任意粒子P的位置。該粒子相對于全局坐標系的位置(如圖1所示)為R+rk度為，

V由表征平移運動(宏觀運動)的速度，的是擴展目標中各粒子的局部運動(微觀運動)，表示叉乘(不是乘法)，這些微觀運動正是目標微多普勒形成原因。為后續分析方便，令

也就是說目標的在全局坐標系的宏觀運動由多普勒效應描述；而同一目標在局部坐標系中的微觀運動由微多普勒效應(Micro-Doppler Effect)描述。我們進一步分析Vmicrodoppler結構，也就需要引入歐拉角(Euler Angles)

Euler Angles

剛體運動中，繞某個軸的旋轉運動由旋轉軸及旋轉角度確定，并且角速度與旋轉軸同向。(In a rigid body, the rotation about an axis can be described by the rotation axis and the rotation angle using a vector of angular velocity. The direction of the vector is along the rotation axis.)

Fig 2 Rotation Illustration

旋轉的三個角度定義為歐拉角，給定一組旋轉次序，歐拉角是描述改組次序下旋轉(內旋)的有利工具。一個典型的旋轉例子如圖3所示，變換步驟為Step1，Step2,，Step3。

Fig 3 Euler angles commonly used to represent three successive rotations

假設boresight是x軸，對于旋轉次序存在一些慣例，比如roll-pitch-yaw ?convention，也就是旋轉軸依次是x軸，y軸，z軸。對于給定的旋轉次序，結合三個旋轉角度，就可以得到旋轉矩陣，該矩陣是計算剛體旋轉的有利工具。對于roll-pitch-yaw or x-y-z sequence，第1步是以x軸 x=[1 0 0]為旋轉軸旋轉，相應的旋轉矩陣為

第2步是以y軸為旋轉軸旋轉theta，相應的旋轉矩陣為

第3步是以z軸為旋轉軸psi，相應的旋轉矩陣為

因此，roll-pitch-yawconvention 條件下的rotation matrix為

結合的分析，我們進一步提煉變換矩陣所具有的一般性特征，

對于構建，需要滿足的一般條件為

這意味著旋轉矩陣的三個列向量是正交的(orthonormal)

Discussions

1)?????歐拉角及其rotation matrix應用舉例(拋磚引玉)

1 是坐標系不動，目標點旋轉(微多普勒分析)

如前所述，剛體旋轉運動(先不考慮其他運動，且局部坐標系與全局坐標系共原點)，那么剛體上任意位置處的粒子k的由于旋轉運動時刻t的位置為? 為t-1時刻粒子k的位置。

2 全局坐標系不動 ，局部坐標系旋轉(即旋轉坐標系)(RCS分析，車輛坐標系轉換)

Fig 坐標系旋轉變換

2) 對于1，我們思考旋轉坐標系的原點在固定坐標系的速度向量(矢量)怎么求，本質上就是旋轉角速度叉乘原點坐標，；另一方面，由于計算速度向量也可以理解為矩陣變換，也就是，本質上就是將矩陣化為，從而將叉乘轉化為點積，我們進一步來考察矩陣的結構，它其實具有反對稱矩陣結構，這個以后會聊。

3) 與歐拉角的關系，可以這么理解，也可以表示為關于三個坐標軸的三個變換(旋轉)矩陣之積，而旋轉矩陣又是歐拉角的函數。

References

[1] Chen, Victor C. The Micro-dopplereffect in radar[M]. Artech House, 2011.

【本文圖片來自公開技術資料】----------------------------End---------------------------推薦閱讀

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的旋转矩阵求旋转角度_（加餐）欧拉角及矩阵旋转的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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