大學上過計算機原理課程的朋友都接觸過補碼這個概念，不過當時書上所教授的內容都是以二進制作為前提，即所謂的2的補碼（2's Complement）。近來看TCP/IP Volume 1時，又接觸到“1的補碼”這個概念，忽然發現其實還不太明白補碼到底是什么意思，故查閱資料記錄之。

資料來源：維基百科

術語解釋：Radix —— 基數，在本篇文章的范疇內等價于“進制”

定義：給出長度為n的數值y，則y的以基數b的補碼為： bⁿ - y （即 b的補碼）

水平有限，翻譯的比較拗口，不過公式還是很簡潔的，實際上補碼從定義上來說并沒有什么難懂的地方。不過有些地方需要加以說明，補碼這個概念是建立在進制（即基數）的基礎上的，至少在計算機科學的術語中，補碼定義中的基數b是一定等于當前進制的，也就是說以上定義可以簡化為

給出長度為n的數值y且該數值為b進制，則y的補碼為：bⁿ-y

下面以十進制的數作為例子

給出數值y = 1234，很明顯長度n = 4，基數b = 10（你說不知道10從哪來的？論審題的重要性）

根據補碼的定義那么 y的補碼為：10⁴- 1234 = 8766

用途：補碼的作用是什么呢？你走運啦，補碼的用途很專一 —— 用加法操作來代替減法操作

聽起來匪夷所思，你幾乎要脫口而出：“不可能?。?！”，不過按照國際慣例，我們先來看看到底怎么回事吧

這里要引入另一個很簡單但是英文又很有bigger的術語： 縮小基數補碼 （diminished radix complement），看到 diminished 這個詞我立馬打個激靈，想起了久未謀面的縮小增量排序（diminished increment sort），啥？你說老師沒教過這個？噢，它的另一個名字叫希爾排序，它是。。。咳咳，不好意思跑題了。

縮小基數補碼實際上就是 (bⁿ - 1) - y，就是說你可以通過往縮小基數補碼上加個 1 來得到基數補碼，也就是說

bⁿ-y =(bⁿ-1) -y + 1

是不是想大喊一聲：這TM不是廢話么？？

這個概念有什么用？其實在純數學的范疇內，這個純屬多余，沒有任何用處。然而到了我這個年紀，就會明白一切看起來無意義的東西，肯定一定必須存在一個讓它擁有意義的上下文環境。在本文內，這個環境就是“一個數值的長度”，你要知道在數學范圍內，你想把一個數寫多長就有多長，但是在計算機內數值長是固定的，譬如Java語言的int數值長度為32位，你無法用32位的數去表示33位數，當然34位就更不行了！

回到基數b這個關鍵字上面來，還是以十進制數為例子

假設數值長度為固定的4，給出數值y= 1234，如果說你真的要按照定義在計算機內去獲得補碼，你是做不到的，因為根據定義補碼為10⁴- 1234，然而10⁴ = 10000,已經超出了4位數所能表示的范圍，你明白了么？縮小基數補碼就是為了能在固定的數值長度中去獲得補碼，所以退一步海闊天空啊

10⁴- 1 = 9999
9999 - 1234 = 8765
8765 + 1 = 8766

然而，聰明如你一定發現了，說是補碼的用途是用加法代替減法，可是在以上第二步獲得補碼的關鍵步驟里，不還是要進行減法？？這有毛區別？哈，這個就是最讓人興奮的地方，在二進制世界里，你不需要再用減法了，下面以二進制為例子

給出數值y= 1011，那么很明顯，按照最新的補碼求解步驟，補碼 = ( 2⁴ - 1 ) - 1011 + 1，猛然一看，這哪里履行了補碼的承諾，用加法代替減法？那么我們就以二進制的視角去看

y 　　= 1011

2⁴- 1 = 1111

實際上你已經發現了，這個縮小基數補碼是固定的——給定計算機數值長度n，則縮小基數補碼可以直接寫出：pppp...ppp（n個p，p = 進制 - 1），而關鍵的

1111 - 1011，這一步實際上已經不需要作減法操作了，直接對 y 取反再加上 1 就能得到補碼了（是不是對“取反加一”感到特別耳熟？你是個上課聽課的好孩紙），在此不得不感謝偉大的二進制！需要再次聲明下，這么流暢的操作只有二進制能完成，其他進制想要獲得補碼，依然需要減法。

終章：在神奇的二進制世界中，獲得一個數的補碼只需要簡單的取反再加上一就可以了。那么最后我們來看看，補碼到手之后，又怎么能代替減法呢？

假設需要求解 x - y ( x >= y)，那么分為以下步驟

求得y的補碼bⁿ-y
x - y = x + (bⁿ-y ) = x - y + bⁿ （這一步用補碼的加法代替了原數值的減法）
顯然x - y + bⁿ >=bⁿ，然而bⁿ已經超出了數的表示范圍（overflow），直接被丟棄了，最后的結果就等于x - y

1的補碼：這個世界是沒有1進制的，所以1的補碼是一個縮小基數補碼，也就是直接對一個二進制數值取反

總結

以上是生活随笔為你收集整理的什么是Complement（补码）?的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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