本文始發(fā)于個(gè)人公眾號(hào)：TechFlow，原創(chuàng)不易，求個(gè)關(guān)注

今天是算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的第14篇文章，也是動(dòng)態(tài)規(guī)劃專題的第三篇。

在之前的文章當(dāng)中，我們介紹了多重背包的二進(jìn)制拆分的解法。在大多數(shù)情況下，這種解法已經(jīng)足夠了，但是如果碰到極端的出題人可能還是會(huì)被卡時(shí)間。這個(gè)時(shí)候只能用更加快速的方法，也就是今天我們要一起來(lái)看的單調(diào)優(yōu)化。

單調(diào)優(yōu)化是單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化的簡(jiǎn)稱，單調(diào)棧我們?cè)谥暗腖eetCode專題已經(jīng)介紹過(guò)了。它的本質(zhì)只是一個(gè)簡(jiǎn)單的棧，通過(guò)在插入元素時(shí)候?qū)ｍ數(shù)牟糠衷剡M(jìn)行彈出，從而保證了棧內(nèi)元素的有序。而單調(diào)隊(duì)列也類似，只是插入元素的位置不同而已。棧是只能從棧頂插入，隊(duì)列則是從隊(duì)尾插入。

比如我們看下下圖，下圖就是一個(gè)典型的單調(diào)隊(duì)列，隊(duì)列中的元素是[10, 6, 3]。隊(duì)首是10，隊(duì)列當(dāng)中的元素從隊(duì)首開(kāi)始往隊(duì)尾遞減。

如果這個(gè)時(shí)候我們從隊(duì)尾插入9，由于9大于隊(duì)尾的3，所以3出隊(duì)列，我們繼續(xù)判斷，發(fā)現(xiàn)9依然大于6，所以6再次出隊(duì)列。最后得到的結(jié)果是[10, 9]。準(zhǔn)確的說(shuō)，由于我們進(jìn)出隊(duì)列的操作可以同時(shí)在隊(duì)首或者隊(duì)尾進(jìn)行，所以嚴(yán)格說(shuō)起來(lái)這并不是普通的隊(duì)列，而是一個(gè)雙端隊(duì)列。

單調(diào)隊(duì)列或者說(shuō)單調(diào)棧的最大用處是由于容器內(nèi)元素遞增或者遞減，所以棧頂或者是隊(duì)首的元素就是最值。我們通過(guò)使用單調(diào)棧可以在常數(shù)時(shí)間內(nèi)獲得某一個(gè)區(qū)間內(nèi)的若干個(gè)最值，在一些問(wèn)題當(dāng)中只獲得一次最值還是不夠的。因?yàn)榉N種條件的限制，所以可能使得最值不一定能夠成立，這個(gè)時(shí)候需要求第二最值或者是第三最值，在這種問(wèn)題下， 使用單調(diào)棧或者是單調(diào)隊(duì)列就是非常有必要的了。

比如今天要討論的多重背包問(wèn)題，就是這樣的情況。

基礎(chǔ)分析

我們先把單調(diào)隊(duì)列的事情先放在一邊，先來(lái)仔細(xì)分析一下題目。

在之前的文章當(dāng)中，我們?cè)?jīng)討論過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的復(fù)雜度問(wèn)題。對(duì)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法而言，我們要做的是遍歷所有的決策，以及決策可以應(yīng)用的狀態(tài)，找到每個(gè)狀態(tài)最佳的轉(zhuǎn)移，記錄這些最好的轉(zhuǎn)移結(jié)果。在所有的結(jié)果當(dāng)中的最值，就是我們要找的整個(gè)問(wèn)題的答案。那么，我們可以很方便地推導(dǎo)出動(dòng)態(tài)規(guī)劃的復(fù)雜度，等于狀態(tài)數(shù)乘上決策數(shù)。

我們記住這個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論，它可以幫助我們很方便地分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的復(fù)雜度，尤其在一些通過(guò)傳統(tǒng)方法不方便分析的時(shí)候。

我們把復(fù)雜度結(jié)論帶入多重背包問(wèn)題，對(duì)于多重背包問(wèn)題來(lái)說(shuō)，我們的決策是由兩個(gè)條件決定的。其中一個(gè)是物品，另一個(gè)是這個(gè)物品的數(shù)量。所以決策的數(shù)量等于物品數(shù)乘上物品的個(gè)數(shù)，狀態(tài)是背包的容量。我們假設(shè)物品的數(shù)量是N，物品的個(gè)數(shù)為M，背包的容量是V，那么它的復(fù)雜度就是

。顯然，在絕大多數(shù)情況下，這個(gè)復(fù)雜度是我們不能接受的，也是我們需要引入種種優(yōu)化的原因。

在之前的文章當(dāng)中，我們通過(guò)二進(jìn)制表示法，將物品的數(shù)量拆分成了若干個(gè)2次冪的和。所以對(duì)于二進(jìn)制表示法而言，它的復(fù)雜度是

。我們通過(guò)二進(jìn)制表示將M這一維降到了，那么有沒(méi)有辦法將它繼續(xù)簡(jiǎn)化呢？

當(dāng)然是有的，我們繼續(xù)來(lái)分析。在NVM這三個(gè)維度當(dāng)中，N是無(wú)論如何不能減少的。我們有N種物品再怎么樣也得比較一下這N個(gè)物品的好壞優(yōu)劣，不可能說(shuō)還有策略都不考慮就得到最優(yōu)結(jié)果，這是不可能的。既然N這一維度不能動(dòng)，我們只能從VM這兩個(gè)維度入手了。

這個(gè)M比較討厭，我們能不能想一個(gè)辦法來(lái)解決掉它呢？

在樸素的想法當(dāng)中，我們需要遍歷拿取的個(gè)數(shù)來(lái)找到最優(yōu)的子結(jié)構(gòu)。比如當(dāng)前的狀態(tài)是i，我們需要遍歷0-M中所有的j，看看究竟dp[i]的最優(yōu)解是通過(guò)哪一個(gè)j轉(zhuǎn)移得到的。那么有沒(méi)有辦法，我們不用枚舉，自動(dòng)可以獲取呢？

當(dāng)然是有的，這個(gè)也是單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化的精髓。

單調(diào)隊(duì)列

下面，我們來(lái)一點(diǎn)一點(diǎn)推導(dǎo)單調(diào)優(yōu)化的過(guò)程。

首先，我們假設(shè)當(dāng)前遍歷到的狀態(tài)是i，也就是背包容量是i，當(dāng)前的物品是item，它的體積是v，價(jià)值是p，數(shù)量是n。我們先來(lái)看第一個(gè)洞見(jiàn)，對(duì)于狀態(tài)i而言，它只能從i-kv狀態(tài)轉(zhuǎn)移得到。這里的k是一個(gè)[0, min(i / v, n)]范圍內(nèi)的整數(shù)，min(i / v, n)這個(gè)式子我想應(yīng)該大家都能看懂，就是當(dāng)前狀態(tài)i最多能夠包含多少個(gè)物品item。這個(gè)數(shù)量是物品數(shù)量的上限n和i這個(gè)狀態(tài)最多裝得下的數(shù)量i / v中較小的那個(gè)，我們令min(i / v, n)這個(gè)值叫做cnt。

也就是說(shuō)對(duì)于狀態(tài)i而言，它最多包含cnt個(gè)item，最少包含0個(gè)。那么它的轉(zhuǎn)移可能性一共只有cnt種，而不可能從i-1以及i-2等其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移到。我們寫(xiě)出這個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，可以得到：

也就是說(shuō)在當(dāng)前item也就是當(dāng)前決策下，狀態(tài)i的最好結(jié)果一定是由一系列確定的子狀態(tài)其中之一轉(zhuǎn)移得到的，并且這些子狀態(tài)和一個(gè)整數(shù)k掛鉤，k的取值范圍是[0, cnt]。我們先暫時(shí)忽略這個(gè)范圍，簡(jiǎn)化問(wèn)題。考慮最極端的情況，最極端的情況這個(gè)物品數(shù)量管夠，在這種情況下，我們可以列一下可以通過(guò)item轉(zhuǎn)移到i的所有狀態(tài)，它是一個(gè)序列：[i % v, i % v + v, i % v + 2v, ..., i - v]。

在之前裸的做法當(dāng)中，我們是通過(guò)一重循環(huán)來(lái)遍歷了這個(gè)序列，從其中找到了最佳的轉(zhuǎn)移。我們現(xiàn)在希望可以不用遍歷，通過(guò)某種方法快速找到其中最優(yōu)的狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)移。這個(gè)邏輯應(yīng)該不難理解，到這里，我們沒(méi)有引入任何花哨的操作。

我們下面來(lái)做一點(diǎn)簡(jiǎn)單的分析，我們已經(jīng)列舉出了對(duì)于狀態(tài)i所有可能轉(zhuǎn)移到的上游狀態(tài)。我們不希望通過(guò)遍歷來(lái)找到其中最佳的轉(zhuǎn)移，順著這個(gè)思路，我們大概可以猜測(cè)一下，應(yīng)該通過(guò)某種方法找到這個(gè)序列當(dāng)中的某個(gè)最值。只有這樣，我們才可以不需要遍歷，快速找到答案。但是通過(guò)什么方法，尋找什么最值我們現(xiàn)在還不知道。到這里，我們又往前進(jìn)了一步，大概知道了接下來(lái)的策略，但是具體的細(xì)節(jié)我們還不知道，沒(méi)關(guān)系，我們先放一放，繼續(xù)進(jìn)行分析。

為了簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，我們令 m = i % v，也就是當(dāng)前狀態(tài)對(duì)物品item體積的余數(shù)。那么上面的那個(gè)序列可以寫(xiě)成[m, m+v, m+2v, ... i - v]。由于在本問(wèn)題當(dāng)中，我們希望背包里的價(jià)值越大越好，所以顯然對(duì)于dp[m], dp[m+v], dp[m+2v]... 這個(gè)序列而言，它是遞增的。原因也很簡(jiǎn)單，對(duì)于每一個(gè)狀態(tài)而言，dp數(shù)組當(dāng)中都存儲(chǔ)的它對(duì)應(yīng)的最優(yōu)結(jié)果。所以不可能出現(xiàn)我們用了更多的空間，但是背包里的價(jià)值卻減少的情況。

我們當(dāng)然希望可以簡(jiǎn)單地從dp[m], dp[m+v], dp[m+2v]...dp[i-v]這個(gè)序列當(dāng)中選取最大的那個(gè)，但是由于上面這個(gè)結(jié)論，所以我們并不能這么做。不能這么做的原因有兩個(gè)，一個(gè)剛才說(shuō)了，因?yàn)閐p[i]是一個(gè)隨著i遞增而遞增的序列，背包裝的東西越多，裝的價(jià)值只會(huì)越大，不會(huì)減少。還有一個(gè)原因是后效性，這個(gè)問(wèn)題和零一背包的情況有些相似。舉個(gè)例子，比如說(shuō)dp[m] = x，如果dp[m+v]=x+p，也就是說(shuō)dp[m+v]由dp[m]轉(zhuǎn)移得到，代表它已經(jīng)裝了一個(gè)物品item。如果我們?cè)購(gòu)膁p[m+v]進(jìn)行轉(zhuǎn)移，我們則無(wú)法判斷到底一共拿取了多少個(gè)物品，也就無(wú)法判斷是否違法。

這兩個(gè)問(wèn)題，我們一個(gè)一個(gè)來(lái)解決，先說(shuō)第二個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題解決的方法很多，最簡(jiǎn)單的就是將這個(gè)序列的結(jié)果單獨(dú)存儲(chǔ)一份，使得當(dāng)我們更新dp的時(shí)候不會(huì)影響。在零一背包當(dāng)中我們通過(guò)倒敘遍歷來(lái)解決了這個(gè)問(wèn)題，但是在多重背包當(dāng)中，這種方法不太適用。接著我們來(lái)看第一個(gè)問(wèn)題，我們直接找到序列最值不可行的原因是因?yàn)楸嘲萘恳鹆瞬还?#xff0c;為了解決問(wèn)題，我們需要想辦法消除這種不公。消除的辦法也簡(jiǎn)單，我們可以通過(guò)某種方法，將這些值放到同一個(gè)基準(zhǔn)，消除因?yàn)槿萘孔兓鸬牟还?/p>

實(shí)際上這個(gè)基準(zhǔn)很好找，就是m。我們假設(shè)dp[m], dp[m+v], dp[m+2v]...dp[i-v]這個(gè)序列當(dāng)中的值都是通過(guò)dp[m]轉(zhuǎn)移得到的。比如dp[m+v]，如果是從dp[m]轉(zhuǎn)移得到的，那么dp[m+v]應(yīng)該等于dp[m]+p。同理，dp[m+2v]應(yīng)該等于dp[m]+2p。這里需要注意，這里的數(shù)據(jù)都是沒(méi)有經(jīng)過(guò)item物品更新過(guò)的結(jié)果，是上一個(gè)物品更新之后得到的值。所以這里的dp[m+v]一定不是通過(guò)dp[m]轉(zhuǎn)移得到的，如果dp[m+v] - p > dp[m]，那么顯然可以說(shuō)明dp[m+v]的潛力要比dp[m]更大，因?yàn)橥瑯拥捏w積v，它創(chuàng)造了更多價(jià)值。同理，如果dp[m+2v] - 2p > dp[m+v] - p，則說(shuō)明dp[m+2v]的價(jià)值更大。以此類推， 我們可以得到一個(gè)全新的序列：

[dp[m], dp[m+v] - p, dp[m+2v] - 2p, ... dp[i-v] - (i div v - 1)p]

這個(gè)時(shí)候，我們已經(jīng)消除了背包容量變化帶來(lái)的偏差，我們可以放心地從其中選擇最值作為最佳的狀態(tài)轉(zhuǎn)移了。但是還有一個(gè)小問(wèn)題，有可能最值是不成立的，舉個(gè)例子，如果說(shuō)我們發(fā)現(xiàn)dp[m+2v] - 2p的值是最大的，但是由于item這個(gè)物品最多獲取cnt個(gè)，如果從m+2v這個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到i，需要的數(shù)量超過(guò)cnt，那么這也是一個(gè)無(wú)效的轉(zhuǎn)移。我們需要拋開(kāi)它，繼續(xù)往下查找次優(yōu)的結(jié)果。

對(duì)于區(qū)間內(nèi)最值的維護(hù)，單調(diào)隊(duì)列非常合適，我們可以保證隊(duì)首的元素是最優(yōu)的，如果隊(duì)首的元素不合法，那么我們可以很方便地彈出獲取次優(yōu)解。也就是說(shuō)我們通過(guò)單調(diào)隊(duì)列維護(hù)了[dp[m], dp[m+v] - p, dp[m+2v] - 2p, ... dp[i-v] - (i div v - 1)p]這個(gè)區(qū)間的最值，這也是單調(diào)隊(duì)列最常用的場(chǎng)景。

算法流程

我們整理一下上面的思路，可以整理出整個(gè)算法運(yùn)行的流程。

首先我們需要一重循環(huán)來(lái)遍歷物品，這個(gè)是肯定跑不了的。無(wú)論用什么算法用什么優(yōu)化，我們都需要遍歷物品，物品是決策的基礎(chǔ)。在01背包和二進(jìn)制表示法當(dāng)中，第二重循環(huán)就是直接遍歷背包容量了。但是顯然，在當(dāng)前算法當(dāng)中，我們不能這么做。因?yàn)榍拔漠?dāng)中說(shuō)到，我們需要用單調(diào)隊(duì)列來(lái)維護(hù)[dp[m], dp[m+v] - p, dp[m+2v] - 2p, ... dp[i-v] - (i div v - 1)p]這樣一個(gè)序列，所以我們需要按照這個(gè)序列的順序來(lái)遍歷背包容量。我們關(guān)注到起始狀態(tài)是dp[m]，這個(gè)m代表分組，也就是物品體積的余數(shù)。

舉個(gè)例子，如果物品i的體積是5，那么m有0，1，2，3，4這5種取值，其實(shí)這也是5的余數(shù)。相當(dāng)于我們通過(guò)余數(shù)將背包容量進(jìn)行分組，這樣我們維護(hù)不同分組下的序列。這些分組拼裝在一起就是整個(gè)背包容量。

下面我們來(lái)看下代碼，結(jié)合上面的敘述會(huì)更直觀一些：

from collections import deque items = [(10, 3, 5), (5, 6, 3), (2, 2, 4)]if __name__ == '__main__':volume = 20dp = [0 for _ in range(volume+1)]# 單調(diào)隊(duì)列deq = deque()for item in items:cnt, v, p = itemfor i in range(v):# 每個(gè)i代表一組新的序列# 所以隊(duì)列需要清空重新開(kāi)始deq.clear()m = (volume - i) // vfor j in range(m+1):val = dp[j * v + i] - j * pwhile len(deq) > 0 and val >= deq[-1][0]:deq.pop()deq.append((val, j))if deq[0][1] < j - cnt:deq.popleft()dp[j * v + i] = deq[0][0] + j * pprint(dp[20])

由于我們要實(shí)現(xiàn)單調(diào)隊(duì)列，并且從左右兩端都會(huì)進(jìn)行讀取操作，所以我們使用雙端隊(duì)列來(lái)實(shí)現(xiàn)。在之前的Python專題的文章當(dāng)中我們介紹過(guò)Python中deque的用法。除此之外，上面這段代碼當(dāng)中還有很多細(xì)節(jié)，我們一點(diǎn)一點(diǎn)來(lái)看。

首先我們來(lái)看循環(huán)變量，最外層循環(huán)的是item，這個(gè)已經(jīng)確定了，i循環(huán)的是v的余數(shù)。即商品i的重量的余數(shù)，也就是對(duì)于商品i來(lái)說(shuō)整個(gè)被背包容量分組的數(shù)量。然后我們針對(duì)每一個(gè)分組單獨(dú)計(jì)算最優(yōu)值。m表示這個(gè)數(shù)列的數(shù)量，就是背包容量減去余數(shù)之后除以商品的體積。所以我們要維護(hù)的序列就是[i, i+v, i+2v,..., i+mv]，j循環(huán)的是這個(gè)序列。

為了公平起見(jiàn)，我們要用dp[i]作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量整個(gè)序列當(dāng)中的價(jià)值。對(duì)于狀態(tài)j * v + i來(lái)說(shuō)，我們把它減去j個(gè)item的價(jià)值，也就是放到dp[i]一個(gè)起跑線來(lái)衡量?jī)r(jià)值。所以val = dp[j * v + i] - j * p。

針對(duì)單調(diào)隊(duì)列deq來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)遞減的隊(duì)列。也就是說(shuō)隊(duì)列頭部的元素是最大值，末尾是最小值。我們每次從尾端進(jìn)行插入，彈出所有比當(dāng)前小的元素，之后我們插入當(dāng)前的候選值。根據(jù)我們之前的推論，由于dp數(shù)組當(dāng)中的值在一輪遍歷之后會(huì)更新，所以我們需要把當(dāng)前的值和狀態(tài)一起存儲(chǔ)起來(lái)，不能只存儲(chǔ)下標(biāo)，否則當(dāng)更新過(guò)dp[j * v+ i]之后，就找不回來(lái)更新之前的值了。

這些邊界條件應(yīng)該還好，問(wèn)題不是很大，問(wèn)題比較大的是if deq[0][1] < j - cnt這個(gè)判斷。這個(gè)判斷當(dāng)中隱藏了兩個(gè)要點(diǎn)，我們一個(gè)一個(gè)來(lái)說(shuō)。

首先，deq這個(gè)隊(duì)列當(dāng)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)值，一個(gè)是val就是dp數(shù)組當(dāng)中存儲(chǔ)的價(jià)值，另一個(gè)是j，是序列的位置或者說(shuō)狀態(tài)，注意，它不等于物品拿了的個(gè)數(shù)。由于題目當(dāng)中有物品拿取數(shù)量的限制，也就是說(shuō)并不是所有的轉(zhuǎn)移都是合法的。我們需要保證從隊(duì)列的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到當(dāng)前狀態(tài)需要的物品個(gè)數(shù)小于等于最大數(shù)量cnt，如果大于就是非法。當(dāng)前狀態(tài)是j，隊(duì)列頭部元素狀態(tài)是deq[0][1]，也就是說(shuō) j - deq[0][1] > cnt的話就非法。

因?yàn)閐eq隊(duì)列當(dāng)中頭部元素值是最大的，所以我們優(yōu)先考慮從頭部進(jìn)行轉(zhuǎn)移到當(dāng)前狀態(tài)。轉(zhuǎn)移是通過(guò)拿取物品進(jìn)行的，所以我們需要進(jìn)行物品數(shù)量的判斷，如果不滿足需要進(jìn)行彈出，這個(gè)是第一個(gè)要點(diǎn)。

第二個(gè)點(diǎn)是，為什么這里用if判斷而不是while呢？

因?yàn)閷?duì)于j來(lái)說(shuō)，j-1的狀態(tài)已經(jīng)更新過(guò)了，也就是說(shuō)隊(duì)列頭部的元素必然對(duì)j-1是合法的。也就是說(shuō)j-1的數(shù)量距離j-1最多也就是cnt，那么對(duì)于j而言最多也就增加了1，我們最多只需要一次彈出就好了。當(dāng)然也可以用while循環(huán)，只不過(guò)沒(méi)有必要。所以如果看不懂的話，這里寫(xiě)成while循環(huán)也是一樣的。

最后，我們來(lái)分析一下它的復(fù)雜度。對(duì)于物品i來(lái)說(shuō)，它如果它的體積是v，那么我們一共可以分成v組。每組當(dāng)中的數(shù)量是volume / v，所以這兩者相乘就剛好是背包體積V的狀態(tài)數(shù)。你可能還會(huì)覺(jué)得我們使用了單調(diào)隊(duì)列會(huì)有開(kāi)銷，的確，但每一個(gè)元素最多進(jìn)出單調(diào)隊(duì)列一次，也就是說(shuō)，對(duì)于每一組序列，單調(diào)隊(duì)列是

的復(fù)雜度，和遍歷的復(fù)雜度一致，所以使用單調(diào)隊(duì)列并不會(huì)整體增加復(fù)雜度的規(guī)模，只會(huì)增加常數(shù)。

總結(jié)

到這里，多重背包的單調(diào)優(yōu)化解法就介紹完了。單調(diào)優(yōu)化是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法當(dāng)中非常常用的一種優(yōu)化方法，并不只是可以應(yīng)用在多重背包問(wèn)題上，在許多場(chǎng)景下都適用。不過(guò)前提是需要我們對(duì)于狀態(tài)之間的關(guān)系，以及轉(zhuǎn)移前后帶來(lái)的影響全部思考清楚。

從代碼上來(lái)說(shuō)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)在是非常簡(jiǎn)單，一般不會(huì)超過(guò)幾十行，我們今天的算法主體也才12行，但是這短短的代碼中間藏了大量的信息和思考。對(duì)于初學(xué)者而言，第一次學(xué)習(xí)的時(shí)候會(huì)一臉懵逼是正常的，但是仔細(xì)冷靜下來(lái)，少關(guān)注一些術(shù)語(yǔ)，多思考一些本質(zhì)的原理，其實(shí)沒(méi)那么難，一遍看不懂多看幾遍，總會(huì)有那么一個(gè)時(shí)刻，讓你有靈光一閃的感覺(jué)。

今天的文章就是這些，如果覺(jué)得有所收獲，請(qǐng)順手點(diǎn)個(gè)關(guān)注或者轉(zhuǎn)發(fā)吧，你們的舉手之勞對(duì)我來(lái)說(shuō)很重要。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多重背包单调队列优化思路_动态规划入门——多重背包与单调优化的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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