目錄前言關(guān)于最大流神奇的術(shù)語(yǔ)EK算法Dinic時(shí)間復(fù)雜度EKDinic細(xì)節(jié)與一些神奇的性質(zhì)反向弧的作用以及代碼邊中的c合法的f對(duì)應(yīng)流st有入邊，ed有出邊雙向邊的兩種處理方法s＜f優(yōu)化反向邊本次無(wú)用性Dinic深度嚴(yán)格單調(diào)遞增性從起點(diǎn)跑和從終點(diǎn)跑反向邊處理方法當(dāng)前弧優(yōu)化參考資料坑

前言

初三的時(shí)候就知道以后注定會(huì)重新寫(xiě)網(wǎng)絡(luò)流的博客了。

但是呢，之前的博客是不會(huì)刪的。水?dāng)?shù)量

因?yàn)橹芭隽撕芏嚯s七雜八的東西。

萬(wàn)一刪了不就前功盡棄了，如果有少數(shù)幾個(gè)讀得懂我所寫(xiě)的文章的，可以結(jié)合兩篇一起看，遇到重復(fù)的地方以這篇為參考，加上自己的理解。

需要注意的是，這篇文章可能對(duì)于信息學(xué)新手不會(huì)太友好，如果你只是個(gè)新手，建議去看看我之前的那篇，那篇提供了一個(gè)例子的講解，會(huì)比較好，而這篇文章注重的是理論，比較干。說(shuō)實(shí)話，就是懶得寫(xiě)例子

當(dāng)然，這篇文章寫(xiě)的比較倉(cāng)促，因?yàn)檫€要備戰(zhàn)NOIP。

關(guān)于最大流

最大流是啥？

想象一坨有向的水管，每個(gè)水管連接著兩個(gè)點(diǎn)，且圖中有個(gè)入水口，有個(gè)出水口，出水口可以無(wú)限出水，入水口可以瞬間收水。

但是呢，在一個(gè)單位時(shí)間，一個(gè)水管只能通過(guò)(c_{i})單位體積的水，同時(shí)水瞬間通過(guò)這個(gè)水管，并在同一個(gè)單位時(shí)間通過(guò)其余的水管，且水管不能存水，如果水不能通過(guò)這個(gè)水管一瞬間流到終點(diǎn)，那么水不會(huì)流過(guò)來(lái)。有生命的水

那么，一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)入水口最多入多少體積的水？這就是最大流問(wèn)題。

其中(a/b)分別表示流過(guò)的水和最多流過(guò)多少的水，(A)為出水口，(E)為入水口。

可以看到，上面兩個(gè)就是同一個(gè)圖的最大流，有兩種，其中，為什么第一個(gè)圖中，(AC)流過(guò)的流量是(0)呢？因?yàn)槿绻麖?A)點(diǎn)流出了一體積的水到了(C)又到了(D)，無(wú)法到達(dá)終點(diǎn)(E)，所以這一體積的水不會(huì)流過(guò)(C)，而是選擇留在原地。

當(dāng)然，上述的表示非常的SB，因?yàn)槲掖_實(shí)不知道如何比較規(guī)范的用中文表述。

我們用((i,j))表示一條邊，(c(i,j))表示這條邊最多流過(guò)的水的體積，(f(i,j))表示這條邊流過(guò)的水的體積。

那么有以下規(guī)定。

((i,j)∈E,0≤f(i,j)≤c(i,j),(i,j)?E,c(i,j)=0)
(sumlimits_{(x,i)∈E}f(x,i)=sumlimits_{(j,x)∈E}f(j,x)(x≠st,ed))
在(E)中，(st)不存在入邊，(ed)不存在出邊。（存在就刪了）
(sumlimits_{(st,i)∈E}f(st,i)=sumlimits_{(j,ed)∈E}f(j,ed))

然后要求最大化(sumlimits_{(st,i)∈E}f(st,i))。

這個(gè)時(shí)候就有人很敏銳的意識(shí)到，那是不是圖外面有個(gè)自環(huán)，這個(gè)自環(huán)也滿足要求？是的，沒(méi)錯(cuò)，但是我們要求最大化(sumlimits_{(st,i)∈E}f(st,i))，這個(gè)環(huán)我們管不管無(wú)所謂。

神奇的術(shù)語(yǔ)

請(qǐng)注意：由于我的學(xué)習(xí)經(jīng)常都是不學(xué)術(shù)的，所以這些術(shù)語(yǔ)的表達(dá)甚至意思可能與真實(shí)的術(shù)語(yǔ)有一定的偏差，見(jiàn)諒。但是應(yīng)該不影響看這篇文章

弧：說(shuō)白了就是有向邊。
反向弧：如果((x,y)∈E)，那么((y,x))就是((x,y))的反向弧。

我看算法導(dǎo)論的時(shí)候發(fā)現(xiàn)正規(guī)的網(wǎng)絡(luò)流定義(E)中的反向弧必須不屬于(E)，但是實(shí)際上如果屬于(E)也不會(huì)影響算法，但是呢，為了后面的表述方便，我們也是默認(rèn)((y,x))不屬于(E)，但是如果題目要求呢？實(shí)際上我們有類似的轉(zhuǎn)換：

可以在不影響結(jié)果的情況下保證反向弧不在(E)中。

反向弧的(f,c)：((i,j)∈E,f(j,i)=-f(i,j),c(j,i)=0)，（有沒(méi)有人規(guī)定非(E)元素的(f)一定非負(fù)）。

網(wǎng)絡(luò)：就是點(diǎn)邊形成的有向圖，其中有意義的邊只有(E)和其反向弧。

流量網(wǎng)絡(luò)：網(wǎng)絡(luò)每條邊標(biāo)出其(f)。

容量網(wǎng)絡(luò)：網(wǎng)絡(luò)每條邊標(biāo)出其(c)。

殘余網(wǎng)絡(luò)：流量網(wǎng)絡(luò)(-)殘余網(wǎng)絡(luò)。（這里"(-)"的意思就是邊上標(biāo)號(hào)相減）

增廣路徑：從(st)到(ed)的一條路徑，且路徑上的每條邊(f<c)，而這條路徑(p)的流量(f(p))就是路徑中(f-c)的最小值。

舉個(gè)例子：

當(dāng)然，這里默認(rèn)網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有意義的邊（比如殘余網(wǎng)絡(luò)中標(biāo)號(hào)為(0)的邊，容量網(wǎng)絡(luò)中標(biāo)號(hào)為(0)的邊）直接消失即可，畫(huà)圖方便一點(diǎn)。（updata：當(dāng)然，在后面證明的過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些容量流量都為(0)的邊沒(méi)有意義，不予討論，而且，在某些證明中，是只針對(duì)(f>0)的(E)的邊，在你發(fā)現(xiàn)證明看不懂的時(shí)候，或者存在很大的邏輯問(wèn)題的時(shí)候，可以考慮看看是不是考慮了沒(méi)有意義的邊）

EK算法

這個(gè)算法是根據(jù)一個(gè)依據(jù)：網(wǎng)絡(luò)中不存在增廣路時(shí)就是最大流來(lái)搞的。

精髓就是每次只增廣最短的路徑（默認(rèn)邊的長(zhǎng)度都是(1)），因此只要不斷的跑分層圖，然后不斷增廣即可。

需要注意的是，一條邊的(f)改變時(shí)，其反向弧也要改變。

但是我沒(méi)有代碼QMQ，因?yàn)橹苯佑肈inic的。

Dinic

我們發(fā)現(xiàn)，一次建圖就跑一條增廣路，真的是浪費(fèi)！！！！

因此我們多跑幾次增廣路。

例題：https://www.luogu.com.cn/problem/P3376

代碼如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using  namespace  std;
typedef  long  long  LL;
struct  node
{
    LL  x,y,c/*還能流多少的流量*/,next,other/*反向弧的編號(hào)*/;
}a[250000];LL  len,last[1300],st,ed,n,m;
void  ins(LL  x,LL  y,LL  c)
{
    LL  k1,k2;
    len++;k1=len;
    a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].c=c;
    a[len].next=last[x];last[x]=len;
    len++;k2=len;
    a[len].x=y;a[len].y=x;a[len].c=0;
    a[len].next=last[y];last[y]=len;
    a[k1].other=k2;
    a[k2].other=k1;
}
LL  list[1300],head,tail,h[1300];
bool  bt_h()
{
    memset(h,0,sizeof(h));h[st]=1;
    list[1]=st;head=1;tail=2;
    while(head!=tail)
    {
        LL  x=list[head];
        for(LL  k=last[x];k>0;k=a[k].next)
        {
            LL  y=a[k].y;
            if(a[k].c>0  &&  h[y]==0)
            {
                h[y]=h[x]+1;
                list[tail++]=y;
            }
        }
        head++;
    }
    if(h[ed])return  true;
    else  return  false;
}
LL  mymin(LL  x,LL  y){return  x<y?x:y;}
LL  findflow(LL  x,LL  f)
{
    if(x==ed)return  f;
    LL  s=0,t;
    for(LL  k=last[x];k>0;k=a[k].next)
    {
        LL  y=a[k].y;
        if(a[k].c>0  &&  h[y]==h[x]+1  &&  s<f/*沒(méi)有跑滿*/)
        {
            s+=(t=findflow(y,mymin(a[k].c,f-s)));
            a[k].c-=t;a[a[k].other].c+=t;
        }
    }
    if(s<f)h[x]=0;//如果這個(gè)點(diǎn)跑不滿，以后都不到這個(gè)點(diǎn)了
    return  s;
}
int  main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&st,&ed);
    for(LL  i=1;i<=m;i++)
    {
        LL  x,y,c;
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&c);
        ins(x,y,c);
    }
    LL  s=0;
    while(bt_h()==true)
    {
        s+=findflow(st,LL(999999999999));
    }
    printf("%lld
",s);
    return  0;
}

時(shí)間復(fù)雜度

EK

事實(shí)上，對(duì)于(h[x])，不斷的增廣，(h[x])只會(huì)非嚴(yán)格單調(diào)遞增，設(shè)增廣后為(h')，增廣前在殘余網(wǎng)絡(luò)中有意義的邊構(gòu)成的集合為(E)。

什么？如何證明？

我們?cè)O(shè)一次增廣后(h[x])減少了，且(x)是所有減少的點(diǎn)中(h')最小的點(diǎn)。

設(shè)(st)到(x)的路徑為(st?y→x)。

分類討論(y->x)。

如果((y,x)∈E)，(h[x]≤h[y]+1≤h[y]'+1≤h[y])。
如果((y,x)?E)，說(shuō)明((x,y))是在增廣路徑中的，所以(h[x]=h[y]-1≤h[y]'-1,h[x]'=h[y]'+1≥h[x]+2)。

所以(h)單調(diào)遞增。

現(xiàn)在證明，一條增廣路徑(p)，如果一條邊在路徑上且(c-f)等于(f(p))，那么這條邊被稱為關(guān)鍵邊，本次增廣完之后便會(huì)在殘余網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有意義。

那么其重新有意義需要圖中帶來(lái)怎樣的變化呢？其重新有意義， 必須其反向弧存在于增廣路中。

即對(duì)于弧((x,y))，反向弧存在于增廣路中：(h[x]=h[y]-1,h[x]'=h[y]'+1≥h[y]+1≥h[x]+2)。

即要求(x)的深度加(2)，那么對(duì)于一條邊，其最多變成關(guān)鍵邊(frac{n-1}{2})次，所以時(shí)間復(fù)雜度就是：(O(nm^2))的。

但是需要注意的是，(x)的深度(+2)并不代表只讓一條邊有意義，比較容易陷入的誤區(qū)是：深度之和最多是(n^2)的，那么一個(gè)點(diǎn)深度(+2)不是只會(huì)讓一條邊有意義嗎？那不就是最多(frac{n^2}{2})次增廣。但是一個(gè)點(diǎn)深度(+2)不一定只讓一條邊有意義啊！！！！例子以后補(bǔ)。

當(dāng)然，這也有個(gè)推論，只要我每次找到的增廣路都保證是圖中長(zhǎng)度最小的，那么增廣路長(zhǎng)度一定非嚴(yán)格遞增。

Dinic

(Dinic)時(shí)間復(fù)雜度為什么是正確的？依據(jù)(EK)算法的推論，我們可以在一次建分層圖的時(shí)候直接把本次分層圖中所有增廣路一下子找出來(lái)，這樣不就免了多次減分層圖的時(shí)間了嗎？

因此，時(shí)間復(fù)雜度還是(O(nm^2))的。（但事實(shí)上這是不是理論上界呢？不是說(shuō)(n^2m)嗎？這個(gè)會(huì)在弧優(yōu)化的時(shí)候具體分析）

細(xì)節(jié)與一些神奇的性質(zhì)

反向弧的作用以及代碼邊中的c

下文默認(rèn)是找增廣路，不管是用什么算法，反正就是找增廣路。

有人可能會(huì)問(wèn)，為什么反向弧這條邊不存在于原圖當(dāng)中，為什么能夠在增廣路徑的時(shí)候走過(guò)它？

先思考反向弧在殘余網(wǎng)絡(luò)中有意義的原因？

是因?yàn)樵≡?jīng)存在于增廣路徑中。

其實(shí)反向弧的存在，就是提供了一次后悔操作。

在下圖中：

（紅邊表示正在找增廣的邊）

我們發(fā)現(xiàn)，(B)堵住了，其原因是因?yàn)?(A,C))沒(méi)有走((C,D))，別跟我說(shuō)什么長(zhǎng)度最小，隨便改一下照樣卡，那么我們就設(shè)置反向邊，叫做后悔，至于其意義，后面具體講，至少我們發(fā)現(xiàn)設(shè)置反向邊后，((A,B))就可以走((B,C))直接到(D)了。

其意義現(xiàn)在講，對(duì)于路徑(p1)：(st?x→y?ed)，對(duì)于路徑(p2)：(st?y→x?ed)，那么其實(shí)質(zhì)上就是走了兩條路徑：(st?x?ed,st?y?ed)。

即：

這就是反向邊的真正含義，在對(duì)應(yīng)到(f)上面，對(duì)于((i,j)∈E)，如果本次流過(guò)((j,i))流了(k)（很明顯(k≤f(i,j))，因?yàn)?f(i,j)≥0)），那么其意義上就是((i,j))之前有(k)的流量取消了（上圖中(x->y)），所以在(f(j,i)+=k,f(i,j)-=k)。

現(xiàn)在聊聊代碼實(shí)現(xiàn)中的邊的(c)代表什么。

對(duì)應(yīng)在代碼中的實(shí)現(xiàn)，邊的(c)表示殘余流量（下文用(c')表示，其實(shí)就是殘余網(wǎng)絡(luò)中邊的標(biāo)號(hào)），即(c(i,j)-f(i,j))，就是(c'(i,j))（不難發(fā)現(xiàn)在代碼中(c')嚴(yán)格(≥0)，滿足上面的對(duì)于(c,f)的約束），對(duì)應(yīng)一下就是(c'(j,i)-=k,c'(i,j)+=k)。

而對(duì)于((i,j))流過(guò)的流量也是同樣如此，同樣是(c'(i,j)-=k,c'(j,i)+=k)。

因此，對(duì)于代碼中的(c')的處理，是完美的符合其應(yīng)該代表的含義的。

合法的f對(duì)應(yīng)流

如果(f)合法，是不是絕對(duì)對(duì)應(yīng)著一種流呢？

發(fā)現(xiàn)圖中只有(st)的入邊(f=0)，出邊(f≥0)，出邊反之，定義一種網(wǎng)絡(luò)中只包含(f>0)且屬于(E)的邊，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中邊的容量為(f)，每次拿(1)流量去從(st)跑到(ed)，最終一定會(huì)找到(sumlimits_{(st,i)∈E}f(st,i))條路徑（到達(dá)一個(gè)點(diǎn)的流量和這個(gè)點(diǎn)流出的流量相等）。

當(dāng)然，圖中可能還會(huì)剩一些環(huán)。

需要注意的是，即使你用的是Dinic，也一樣可能存在環(huán)，舉一個(gè)例子：

st有入邊，ed有出邊

不難發(fā)現(xiàn)，(ed)的出邊(100)%不會(huì)被經(jīng)過(guò)，(st)的入邊也不可能被經(jīng)過(guò)（除非增廣路走環(huán)），因此不用去提前處理使得(st)沒(méi)有入邊，(ed)沒(méi)有出邊。（除非你用的是其他算法）

雙向邊的兩種處理方法

上文也講了，其實(shí)如果原圖中就存在雙向邊有兩種處理方法：

新建一個(gè)點(diǎn)，把一條邊變成鏈，即上文做法。
如果你足夠理解反向弧的話，你就會(huì)明白，其實(shí)反向邊可以直接放在一起，如果對(duì)于(c(i,j)=3,c(j,i)=5)，那么你就按其說(shuō)的在圖中如此設(shè)定，這樣是完全沒(méi)有問(wèn)題的。
針對(duì)(c(i,j)=3,c(j,i)=5)，我們說(shuō)明一下，幫助理解。
首先，對(duì)于這兩邊只會(huì)走一條，兩條都走可以交換執(zhí)行反向邊操作，因此，(f(i,j)≤0)或者(f(j,i)≤0)是成立的，這樣子的話，如果(f(i,j)>0)表示原圖中只走((i,j))，反之亦然。
非常SB的方法，當(dāng)兩條邊處理，各自建立反向弧，證明方法同2，100%不推薦，除非你有很大的怨念。

s＜f優(yōu)化

為什么代碼中(s<f)就(h[x]=0)呢？（相當(dāng)于認(rèn)為這個(gè)點(diǎn)不能走）

難道其不能再做貢獻(xiàn)了嗎？

事實(shí)上是非常肯定的，為了更加直觀的理解，我們定義合法網(wǎng)絡(luò)：
如果對(duì)于一條邊((x,y))，(h[x]=h[y]-1)，那么這條邊就在合法網(wǎng)絡(luò)中。
單純?yōu)榱酥庇^理解，其實(shí)也沒(méi)必要

可以發(fā)現(xiàn)，邊和反向邊一定不會(huì)同時(shí)在合法網(wǎng)絡(luò)，所以，只有在合法網(wǎng)絡(luò)中的弧流量才會(huì)增加，且絕對(duì)不會(huì)減少。

因此，(x)到(ed)的路徑的集合為(P)，這些路徑上的邊流量只會(huì)增加，不會(huì)減少，所以這些路徑不可能在本次分層圖(DFS)中再度成為增廣路，所以(x)以后都不用再找了。

當(dāng)然，如果你不加這個(gè)優(yōu)化，可以被分分鐘卡掉，如下圖：

反向邊本次無(wú)用性

其實(shí)從上面大家都看出來(lái)了，由于合法網(wǎng)絡(luò)中弧和反向弧不可能同時(shí)出現(xiàn)，所以在這次(DFS)中，反向弧的流量在減少，但是并不會(huì)對(duì)(DFS)產(chǎn)生貢獻(xiàn)，所以本次(DFS)中，你可以先不給反向弧添加流量，放外面添加。

好像并沒(méi)個(gè)卵用

Dinic深度嚴(yán)格單調(diào)遞增性

定理：Dinic中(h[ed])嚴(yán)格單調(diào)遞增。

反證法：
本次我們建完了分層圖，跑完了流量，這個(gè)時(shí)候，下一次分層圖的(h[ed])是一樣的！！！這意味著原本存在一條長(zhǎng)度為(h[ed])的增廣路徑但是我們沒(méi)跑到！！！！

什么辣雞東西？？？

假設(shè)最終增廣了(k)條增廣路，因此長(zhǎng)度之和為：(k*h[ed])。
其走了本次增廣的反向邊，因此不能在原有的分層圖上增廣，假設(shè)(p1)走了(p2)的反向邊，這個(gè)時(shí)候，你就會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)，用反向邊的真實(shí)含義，把(p1,p2)調(diào)換一下，得到了(p1',p2')，(p1',p2')的長(zhǎng)度之和為(p1,p2)的長(zhǎng)度之和(-2)，然后不斷執(zhí)行反向邊的真實(shí)含義，最終導(dǎo)致(k)條增廣路徑的長(zhǎng)度和小于(k*h[ed])，那么一定存在一條路徑長(zhǎng)度小于(h[ed])，違反了(EK)的那個(gè)啥推論。
都沒(méi)有走反向邊，對(duì)于路徑(p)，其一定在合法網(wǎng)絡(luò)中。
反證法：
設(shè)(d[x])為路徑(p)上(x)到(st)的距離，且(x)在路徑(p)上，如果(h[x]<d[x])，則一定存在一條增廣路徑小于(h[ed])，如果(h[x]>d[x])，怎么可能？所以一定在合法網(wǎng)絡(luò)上，所以應(yīng)該本次就增廣了。

從起點(diǎn)跑和從終點(diǎn)跑

好了，開(kāi)始講一個(gè)完全沒(méi)有多大用處的優(yōu)化：從終點(diǎn)開(kāi)始建分層圖會(huì)快一點(diǎn)。

從根本上講，這種優(yōu)化是針對(duì)于DFS找不到增廣路徑的搜索而言的，實(shí)際效果表現(xiàn)不佳很大一部分因?yàn)榇髷?shù)據(jù)下表現(xiàn)不佳以及BFS本身對(duì)于不同的搜索順序也會(huì)有一定的效率影響，在這里提出只是單純的因?yàn)檫@個(gè)優(yōu)化對(duì)于DFS確實(shí)是正優(yōu)化。（同時(shí)幫助理解網(wǎng)上說(shuō)的從(ed)建圖更加快的理論）

從(st)跑有個(gè)非常SB的事情，就是但凡從一個(gè)點(diǎn)延伸出來(lái)一條鏈，都很容易跑到這條鏈里面去。

但是就有人發(fā)現(xiàn)了，從終點(diǎn)開(kāi)始跑可以避免此情況，這不是吹的，這是有科學(xué)的依據(jù)的。

首先，增廣路一定是(ed)到(st)的一條路徑，從(st)到(ed)的深度單調(diào)遞減且固定減一。

因此，要么這條邊一定在(st)到(ed)的一條最短路徑上，就會(huì)被(DFS)（從起點(diǎn)開(kāi)始跑同樣會(huì)走這條邊），否則其的深度絕對(duì)不會(huì)是單調(diào)遞增的，因此(st)不會(huì)去訪問(wèn)他（但是從起點(diǎn)開(kāi)始跑是可能會(huì)去訪問(wèn)的），所以你會(huì)發(fā)現(xiàn)，從終點(diǎn)開(kāi)始跑可以在(DFS)中減掉一些沒(méi)有必要的狀態(tài)。

反向邊處理方法

對(duì)于反向邊，代碼中采用的是(.other)，但是有個(gè)更加簡(jiǎn)單粗暴的方法，一開(kāi)始設(shè)定(len=1)，這樣建邊就是(2,3)，(4,5)這樣的編號(hào)，而這些編號(hào)亦或(1)就可以互相轉(zhuǎn)換了。

當(dāng)前弧優(yōu)化

可以發(fā)現(xiàn)，一次(DFS)，在一個(gè)點(diǎn)(x)在跑((x,y))的邊的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，(a[k].c<(f-s))，這個(gè)時(shí)候，(x)會(huì)給(y)等于(a[k].c)的流量，如果到達(dá)終點(diǎn)的流量不足(a[k].c)，那么(y)無(wú)法訪問(wèn)，這條邊作廢，如果到達(dá)了(a[k].c)的流量，這條邊滿流，作廢。

((f-s)≤a[k].c)時(shí)，會(huì)給這條邊(f-s)的流量，如果跑滿了，說(shuō)明這條邊尚有余溫存在，下次還可以給，如果沒(méi)有，則(y)無(wú)法到達(dá)，照樣作廢。

觀察上文，其實(shí)就是如果跑完這條邊之后，(s<f)，這條邊就作廢，所以可以設(shè)置(cur)數(shù)組，直接跳過(guò)廢掉的邊，并進(jìn)行搜索（至于初始化可以在(BFS)的時(shí)候初始化，或者直接用memcpy把(last)賦給(cur)）。

當(dāng)然，你可能會(huì)問(wèn)，(f-s=a[k].c)時(shí)，跑滿了不照樣爆廢？反正下次訪問(wèn)也可以(O(1))重置。

LL  find(int  x,LL  f)
{
	if(x==ed)return  f;
	LL  s=0,t;
	for(int  k=cur[x];k;k=a[k].next)
	{
		int  y=a[k].y;
		if(h[y]==h[x]-1  &&  a[k].c>0)
		{
			s+=(t=find(y,mymin(a[k].c,f-s)));
			a[k].c-=t;a[k^1/*.other*/].c+=t;
			if(s==f)return  f;//滿足就退出，這步也很重要 
		}
		cur[x]=k;//這條邊沒(méi)有全部跑滿，直接溜走 
	}
	if(s<f)h[x]=0;
	return  s;
}

完整代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define  N  310
#define  M  11000
using  namespace  std;
typedef  long  long  LL;
struct  node
{
	int  y,next;
	LL  c;
}a[M];int  last[N],n,m,len=1/*用異或代替.other*/,st,ed;
int  cur[N];//當(dāng)前弧 
inline  void  ins(int  x,int  y,LL  c)
{
	len++;a[len].y=y;a[len].c=c;a[len].next=last[x];last[x]=len;
	len++;a[len].y=x;a[len].c=0;a[len].next=last[y];last[y]=len;
}
int  h[N],list[N],head=1,tail=n;
inline  bool  bt_()
{
	memset(h,0,sizeof(h));h[ed]=1;
	head=1;tail=2;list[1]=ed;
	while(head!=tail)
	{
		int  x=list[head++];cur[x]=last[x];/*只對(duì)能走到的點(diǎn)記錄當(dāng)前弧*/
		for(int  k=last[x];k;k=a[k].next)
		{
			int  y=a[k].y;
			if(a[k^1].c>0  &&  h[y]==0)
			{
				list[tail++]=y;
				h[y]=h[x]+1;
			}
		}
	}
	return  h[st];
}
template<class  T>
inline  T  mymin(T  x,T  y){return  x<y?x:y;}
LL  find(int  x,LL  f)
{
	if(x==ed)return  f;
	LL  s=0,t;
	for(int  k=cur[x];k;k=a[k].next)
	{
		int  y=a[k].y;
		if(h[y]==h[x]-1  &&  a[k].c>0)
		{
			s+=(t=find(y,mymin(a[k].c,f-s)));
			a[k].c-=t;a[k^1/*.other*/].c+=t;
			if(s==f)return  f;//滿足就退出，這步也很重要 
		}
		cur[x]=k;//這條邊沒(méi)有全部跑滿，直接溜走 
	}
	if(s<f)h[x]=0;
	return  s;
}
int  main()
{
	LL  ans=0;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&st,&ed);
	for(int  i=1;i<=m;i++)
	{
		int  x,y;
		LL  c;
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&c);
		ins(x,y,c);
	}
	while(bt_()==true)ans+=find(st,LL(9999999999999));
	printf("%lld
",ans);
	return  0;
}

當(dāng)然，也有人的當(dāng)前弧是這樣寫(xiě)的：

template<class  T>
inline  T  mymin(T  x,T  y){return  x<y?x:y;}
LL  find(int  x,LL  f)
{
	if(x==ed)return  f;
	LL  s=0,t;
	for(int  &k=cur[x];k;k=a[k].next)
	{
		int  y=a[k].y;
		if(h[y]==h[x]-1  &&  a[k].c>0)
		{
			s+=(t=find(y,mymin(a[k].c,f-s)));
			a[k].c-=t;a[k^1/*.other*/].c+=t;
			if(s==f)return  f;//滿足就退出，這步也很重要 
		}
	}
	if(s<f)h[x]=0;
	return  s;
}

我不是很喜歡這樣寫(xiě)，因?yàn)檫@可能會(huì)破壞(Dinic)中(h[ed])單調(diào)遞增的性質(zhì)，導(dǎo)致分層圖做的比較多（事實(shí)上確實(shí)會(huì)）。

好了，重新分析一波(Dinic)的時(shí)間復(fù)雜度吧。

(EK,Dinic)慢在了找增廣的時(shí)間。

原本沒(méi)有當(dāng)前弧優(yōu)化的時(shí)候，每個(gè)點(diǎn)(x)如果一個(gè)流量都沒(méi)有，那么其不可以到達(dá)，所以討論有流量的情況，有流量最壞情況下可能需要把(x)的邊全部遍歷一遍，這意味一條路徑可能還需要(O(m))去找，只不過(guò)常數(shù)較小（這也是為什么(Dinic)實(shí)際表現(xiàn)非常優(yōu)秀的原因），但是呢，加了當(dāng)前弧優(yōu)化（我的寫(xiě)法），點(diǎn)(x)每條邊要么有流量，要么被廢除，算上廢除邊的時(shí)間復(fù)雜度：(O(m))，沒(méi)經(jīng)過(guò)一條邊就會(huì)有一條增廣路，所以一條增廣路的花費(fèi)是(O(n))的，所以是(O(n^2m))。當(dāng)然，至于大眾寫(xiě)法，我不會(huì)分析QMQ。

放上一張?jiān)u測(cè)圖吧：

事實(shí)上，如果你能想到有什么方法可以使得一條邊經(jīng)過(guò)完之后絕對(duì)廢除，且不會(huì)影響(h[ed])單調(diào)遞增的性質(zhì)，你就自創(chuàng)了(O(nm))的算法，當(dāng)然，這很難。現(xiàn)在雖然已經(jīng)有nm算法，但是太難懂了

參考資料

EK時(shí)間復(fù)雜度的分析

一篇寫(xiě)得不錯(cuò)得最大流博客，術(shù)語(yǔ)很齊全

論如何卡掉Dinic(我沒(méi)看懂)
咕咕討論，Zadeh Construction是個(gè)什么東西

二分圖匹配Dinic重拳出擊

各種算法的時(shí)間復(fù)雜度以及HLPP的講解

Dinic之神

最大流的正確性

各種算法的時(shí)間復(fù)雜度

算法導(dǎo)論爺Orz

坑

學(xué)習(xí)HLPP。（感覺(jué)這輩子都看不懂時(shí)間復(fù)雜度得證明）

卡掉Dinic。誤

證明二分圖中Dinic的時(shí)間復(fù)雜度。

EK時(shí)間復(fù)雜度證明中提到的例子。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的网络流重制版：最大流Dinic，以及EK、Dinic时间复杂度的证明（含坑）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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