數學里面最有趣的問題可能就得說是素數了。世界上最難的問題很多都與素數有關，而且素數又是如此簡單的一個概念，只要是學過乘除法的人都能理解什么是素數。如果評選一個非常簡單但又極端復雜的數學概念，估計非素數莫屬。今天，我們就來談談素數到底為什么復雜、有趣，為什么上千年來引無數數學家競折腰。

素數，就是除了1和它自身外，再沒有其它因子的自然數。如果把1也看作一個特殊的素數，寫出來素數的集合為{1，2，3，5，7，11，13，17，19，23，......}。下面開始談談有關素數的有趣且復雜的問題，這些問題有的早就得到了解決，有的則至今也沒有解決，還有的很可能永遠無法解決。

一、素數有無窮多個

從歷史上人們認識到素數開始，第一個引發人們思考的問題就是素數到底有多少個？因為人們在從小到大不斷列舉素數的時候，很快就發現越大的素數越不容易找到，而且也相對越稀疏。那么是不是大到一定程度后，就不再有素數了呢？

熟悉數學的朋友們大概都知道，2000多年前的歐幾里得就已經解決了這個問題，答案是素數有無窮多個。歐幾里得的證明方法簡單而優美，是數學歷史上的非常經典的證明之一。證明思路如下(如果熟悉的朋友完全可以跳過不看)：

反證法，假設素數只有有限個，不妨設全部的素數為??。
然后歐幾里得構造了一個新的自然數M=??，
顯然M不能夠被?中的任何一個素數整除。
那么，要么M是一個素數，要么M可以被一個不在中的素數整除。
無論是哪種情況，說明都存在以外的新的素數。
這與假為全部的素數矛盾。
這個矛盾說明，素數有有限個的假設是錯誤的，素數必然有無窮多個。

歐幾里得是一個大數學家，他的這個證明相當的簡捷優美，如果評選數學歷史上最優美的十大證明，我想這個證明可以入選。

雖然我這個專欄中的文章還不算多，但是讀過我的一些文章的朋友一定會知道，我不會只普及這么簡單的知識和證明的。這個問題的證明方法現在超過100種，大部分證明只給出了“素數有無窮多個”這么一個普通的結論。我倒是愿意和大家分享一下下面這個證明方法，它給出了一個包含更多信息的結論。

熟悉級數基本知識的朋友肯定知道，全部自然數的倒數和是不收斂的，也就是說，可是對于完全平方數、完全立方數等數的倒數之和是收斂的，即、等都存在。事實上，都收斂。我們現在要問的是，既然素數在很大后也日漸稀疏，雖然未必比?稀疏得快，全體素數的倒數之和是否收斂呢？如果不收斂，那么素數一定不會只有有限個。

200多年前的偉大數學家歐拉最早給出并證明了這個結論，全體素數的倒數之和不收斂。當然，歐拉的證明過于晦澀了一些，我們給出一個二十世紀匈牙利著名數學家Erdos關于全體素數倒數之和不收斂的優美證明。如果你愿意在閱讀下面的證明之前認真思考一下這個問題，就會知道Erdos給出的證明真漂亮。

仍然是反證法。設?為素數，且當i?，也就是說?這個數列從小到大排列了全部素數。
假設?收斂，由于?這個數列是遞減的，因此一定可以找到一個足夠大的自然數k滿足??。
我們把稱為小素數，把?稱為大素數。
下面我們任取一個自然數N，并把小于等于N的自然數分成兩部分，一部分只有小素數作為其素因子，這樣的數的個數記為??；另一部分是包含有至少一個大素數作為其素因子的，這樣的數的個數記為??。顯然，??。
下面我們分別估計??與??，
(1)先來估計??。設??是一個只有小素數作為其素因子的自然數，把n進行質因數分解，然后將n寫成兩部分的乘積，一部分是單個小素數的乘積，另一部分是一個完全平方數，即??。這里面的??就是單個小素數的乘積，??是那個完全平方數。
因為小素數一共有k個，因此??可能的情況有??種(即每個小素數要么有要么沒有)；
又因為?，所以??，也即?至多有??種情況。
于是n最多可能的個數為??，即?
(2)再來估計??。在小于等于N的自然數中，包含有素因子??的數有??、??，其個數是?(方括號表示取整數部分)，其它大素數也一樣。于是
由于??，如果我們能夠找到合適的N，使得??，那么就會出現??，這樣與??矛盾。
于是我們令??，得到這樣的N顯然存在，取??即可。
這個矛盾說明假設錯誤，即全體素數的倒數之和不收斂。

既然全體素數的倒數之和不收斂，素數當然不會只有有限個。而且通過這個結論，我們還可以大概判斷，素數分布大概的稀疏程度要比任意s>1時的?的分布還要密集些。這個結論其實是關于素數分布研究的一個非常重要的進展。

二、相鄰素數的間隔

人們對素數的研究，最關鍵的就是希望得到素數分布的規律。最理想的情況是給出第n個素數的通項公式P(n)，起碼也要知道素數分布大概的稀疏程度。那么我們從最基礎的分布關系入手，看一下兩個相鄰素數的間隔會有多大？

一個很容易得到的結論就是，兩個相鄰素數的間隔是可以任意大的。這很容易證明。

構造一個連續自然數的數列，n!+2、n!+3、......、n!+(n-1)、n!+n，這個數列一共有n-1個連續自然數，而且這n-1個數必然都不是素數。
由于n是任取的，這說明兩個連續素數的間隔可以任意大。

那么是不是說，兩個相鄰素數的間隔就完全不受控制，沒有任何限制了呢？還真不是，否則素數分布就沒有那么復雜了。100多年前的法國數學家Joseph Bertrand給出了一個猜想，那就是“到下一個素數的距離不可能大于我們出發的這個數”。換句話說，隨便給出一個自然數n，從n+1開始到2n之間一定存在至少一個素數。

這個結論在1850年被俄羅斯數學家切比雪夫(Pafnuty Chebyshev)證明，后來的一些數學家給出過不斷簡化、精煉的證明方法。可遺憾的是，我認為所有的證明方法都不夠簡捷優美，考慮到我專欄的名字叫做“數學與邏輯之美”，既然這些證明都不夠美，我就不在這里和大家贅述了。總之，這個結論是正確的，標準的數學表述如下：

對每個?，存在素數p滿足??。

關于素數的間隔，最有名的是孿生素數猜想。孿生素數是相差為2的兩個素數，這是素數可能的最小間隔。孿生素數猜想說的是“孿生素數有無窮多組”。我們想象一下，素數分布越來越稀疏(前面已經說了，兩個相鄰素數的間隔可以任意的大)，但是相差為最小間隔2的素數卻總會不斷出現，有無窮多對，是不是一種很神奇的現象！當然，孿生素數猜想尚未得到證明。目前最接近的進展是著名華人數學家張益唐于2013年證明的，存在無窮多對相差小于7000萬的素數(當然，這個7000萬是可以被優化的，據說現在已經優化到1000以內了)。如果我們認真思考一下素數分布，就會理解，無窮多對相差為有限間隔的素數同素數分布逐漸會無窮稀疏相比，無論這個間隔是2還是7000萬，都同樣令人震驚。

一個分布越來越稀疏的數列，居然不斷的回到某個有限的間隔，甚至是最小間隔，這種現象很像隨機數的特點，可是素數是一種完全確定的數。這也許正是素數的神奇之處吧。

三、素數有公式么

人們非常希望發現素數的規律，當然，素數是確定的，理論上講必然有其規律，可是到今天為止，人們還無法給出素數的通項公式。或者不說通項公式，即使要求給出一個確保只能得到素數的公式，目前也沒有足夠有價值的結論。

最經典的一個關于素數公式的猜想是300多年前的民間數學家費馬給出的，他猜想?對于任意自然數n，其結果都是素數。由于這個數增長很快，費馬僅僅驗證了n為0、1、2、3、4這五種情形，得到的都是素數。1732年，大數學家歐拉證明，n為5時的費馬數?不再是素數。這說明費馬的猜想是錯誤的。

后來不斷有數學家試圖給出必然得到素數的公式，也確實有一些這樣的公式。下面給大家介紹一個相比較而言還挺有趣的素數公式，這個公式是1976年加拿大數學家杭斯伯格給出的，是一個關于自然數的二元函數，

設x，y是自然數，令??，定義

可以證明，這個公式給出的結果一定是素數。

下面，我們來簡單分析一下這個公式。首先B肯定是一個整數(可能是負整數)，那么?

必然是一個非負整數。如果?，那么結果必然是，當然是一個素數，但是沒有什么意義。剩下的情況就只能是??，此時得到的?，這個數會是個素數嗎？

這種情況下，B=0，意味著?，換句話說，?整除?。這里，我們引入一個著名的素數判定定理，叫做威爾森定理。

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p是素數?

就是說，如果p整除(p-1)!+1，那么p就是素數；否則p就是合數。按照威爾森定理，y+1整除y!+1，意味著y+1是素數，因此杭斯伯格的這個公式確實必然得到素數。

其實這個公式本身沒有什么意義，只有你找到一個素數p，并把p-1作為y時，它才會得到這個素數p，否則得到的都是2。所以，這個必然得到素數的公式挺二的。

不過，我們應該更感興趣的是威爾森定理。為什么p整除(p-1)!+1與p是素數等價呢？下面給出一個本人的證明。這個證明對于學過群理論的朋友們會非常容易理解，但是沒有學過群論的朋友也不用著急，我下面的證明不是用群論的概念來表述的，沒學過群論的朋友也一樣看得懂。

一、先證明兩個結論。
對于任意一個大于1的自然數n，將1、2、3、......、n-1這n-1個自然數中與n互質的全部m個數取出來構成集合M，。結論1：對于任意?都存在??，滿足??。
我們用?去乘集合M中的每一個元素(包括?自己)得到新的m個數?、......、??，這新m個數中任意兩個數之差?都不能被n整除，這是因為??與n互質，而??且??。這意味著新得到的m個數除以n的余數各不相同。

同時，新得到的m個數都是兩個與n互質的數的乘積，仍然與n互質。這意味著新的m個數除以n的余數也必然與n互質。
于是，這新的m個數除以n的余數應該是兩兩不同且都與n互質的數，正好構成集合M。因為1必然屬于M，所以這新的m個數除以n的余數中必然有一個余數是1。設這個數是?，于是我們就找到了這個??。
我們把這個對應于??的??記作??。提醒注意的是，有可能??。結論2：當??時，??。
否則，設，那么就有?，于是n整除??。但由于??，也就是說??與n互質，且??，根據結論一證明過程中的分析，n整除?是不可能的。結論2得證。二、證明p為素數時，p整除(p-1)!+1
對于素數p來說，從1到p-1這p-1個數都與p互質，因此對于一個素數p，集合M={1, 2, ......, p-1}。
根據結論1和結論2，集合M中的任意一個數都存在一個唯一對應的數，使得這兩個數的乘積除以p的余數是1。于是，我們可以將M中的數按照這個條件配對組合，形成若干組數對。但是，由于一種特殊情況的存在，我們無法保證這些數對覆蓋了M中的全部數。這種特殊情況就是對于某些元素a，??。下面我們針對素數p，分析這樣的元素a的各種情況。
當??時，意味著??，也就是p能夠整除?。
由于p是素數，所以要么p整除a+1，要么p整除a-1。考慮到a是自然數且?，那么只存在兩種可能，要么a+1=p，要么a-1=0。也就是說，這樣的元素a只能是1和p-1。
(p-1)!是集合M中全體元素的乘積，除了1和p-1以外，其它數正好可以配成若干對乘積除以p余1的數，根據同余關系，有?上式中的?到??就是乘積模p余1的數對。
于是，?，也就是說，p整除(p-1)!+1。三、證明p整除(p-1)!+1時，p必為素數
假設p為合數，那么從1到p-1中，必有若干個不與p互質的數，設這些數為?。其它的數都與p互質，為??到??。
由于與p互質的數之積仍然與p互質，與p互質的數除以p的余數也與p互質，所以我們得到??，其中??是一個與p互質且小于p的正整數，也即?是??到??中的某個數。
已知p整除(p-1)!+1，也就是

即p整除??，也就是存在整數r，使得?
由于?與p不互質，設它們有大于1的公因子u，在上式兩邊同時除以u，等式左邊得到的必然是一個整數，而右邊得到的是一個整數再加上??。這顯然是矛盾的。
于是我們知道p為合數的假設不正確，p必為素數。
綜上，p整除(p-1)!+1等價于p是素數，威爾森定理得證。

威爾森定理其實最早是由德國數學家萊布尼茲(就是與牛頓爭奪微積分發明權的那位)發現的(1671年發表)，但是萊布尼茲沒有給出證明。100年后的1771年，拉格朗日首先給出了證明。看起來這個定理的發現與證明都與威爾森沒有任何關系，但為什么要叫做威爾森定理呢？

這是因為18世紀60年代，威爾森給他的一個朋友、劍橋大學數學家華林寫信說他發現了一個素數判別法，就是這個定理。華林于是在1770年出版的《代數沉思錄》中公布了威爾森的這個發現，并把它命名為威爾森定理。華林還“討好”威爾森說，這個定理永遠不可能被證明，因為人類還沒有好的符號來處理素數。這話傳到高斯耳朵里時，高斯只用了5分鐘就告訴他人，自己已經證明了威爾森定理，并批評華林和威爾森“缺乏的不是符號，而是概念”。

就這樣，這個很有價值的定理即沒有用它的最早發現者萊布尼茲來命名，也沒有用最早的證明者拉格朗日來命名，而是用了一個“缺乏概念”的后來發現者威爾森命名了。

威爾森定理是數論中的一個重要定理，是素數判別方法中一個基礎的判別法。當然，這個判別法并沒有提升素數判別的效率，計算階乘和是否能夠整除對于大數來說仍然是非常困難的。不過，這個判別法在很多時候還是有其價值的，研究數輪的學者絕大多數都會接觸到這個定理。

雖然人們尚未發現有價值的素數公式，但是還是發現了關于素數的一些蛛絲馬跡的規律。本文的文題圖片就是一例，這張圖片叫做烏拉姆表。

1963年，美籍波蘭物理學家烏拉姆在參加一個學術會議時比較無聊，就信手把自然數按照逆時針方向排成螺旋狀以消磨時間。沒想到，烏拉姆意外的發現畫出來的數字螺旋中，素數都排列在一條條直線上。后來，他和同事們一起用計算機計算了1000萬以內的自然數，發現素數仍然在直線上。當然，這不能叫做一個數學規律，只能叫做某種蛛絲馬跡，成因尚不清楚。其實，類似的現象還有薩克斯螺旋。

奇妙的素數啊，讓世界上的數學家們百思不得其解，又癡迷于其中不可自拔。

四、關于素數的一些知名世界級數學難題

素數這么簡單的一個概念，引發了大量的數學問題。關于素數的分布，最有名的成果就是素數定理。

如果我們用?表示小于等于n的素數的個數，那么素數定理告訴我們時，?

根據素數定理，我們可以簡單理解為，當n很大的時候，素數分布的密度接近?。對比前面說過的完全平方數的分布，平均來說在?與?之間存在一個完全平方數，因此完全平方數的分布密度接近?，這要比素數分布稀疏得多，所以完全平方數的倒數和是收斂的，而素數的倒數之和不收斂。

素數定理最早由高斯提出猜想，切比雪夫曾經為證明素數定理作出了巨大貢獻。最終于1896年，兩位年輕的數學家阿達馬(J.Hadamard)和德·拉·瓦萊布桑(C. J. de la Vallée Poussin)證明了素數定理。神奇的是，1949年，另外兩位年輕的數學家——31歲的賽爾伯格(A. Selberg)和35歲的愛多士(P. Erd?s)分別獨立地使用初等數學證明了素數定理。

和素數定理有關的還有一個有趣的事情。人們在大量觀察??和?之間的關系時發現，??總是小于??，雖然越來越趨近，但是在人們驗證過的上10億個素數以內，?都小于??。很自然的，人們就猜想?永遠小于??。不過大數學家利特爾伍德運用分析的力量證明了，不僅這個不等關系不成立，而且存在無窮多個n違反這個關系，只不過其中最小的n也至少大于??。這個結論還提醒我們，不要認為大量計算機驗證過的未證明數學猜想都是正確的，?與??的關系就是一個反例。

關于素數的最著名的一些猜想包括哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、黎曼猜想等等。這里面黎曼猜想是最吸引數學家興趣的。如果誰能夠證明黎曼猜想，一定會成為比證明了費馬大定理的安德魯.懷爾斯還著名的大數學家。關于這些猜想，內容太多，限于本文篇幅，就不再詳細介紹了。

素數，一個簡單的定義給出的概念，但是卻蘊含著無比復雜而深刻的數學思想。一組完全確定的數列，但卻只能使用類似研究隨機的方式來研究它。我愿意用中國數學家陳景潤在《中國大百科全書.數學卷》的條目“素數分布”中所寫的那段話來作為本文的結尾，“素數在自然數中占有極其重要的地位，但是它的變化非常不規則。人們至今沒有找到，大概也不可能找到一個可以表示全體素數的有用公式”。

文章來源：知乎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1亿以内素数的个数_神奇的素数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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