我們經常在判定一個函數是否有最小值時使用正定矩陣，正定矩陣和最小值有什么關系呢？

1 判斷正定矩陣

給出一個矩陣：

有4個途徑可以判定該矩陣是否是正定矩陣（注意這個矩陣的4個元素中有2個b，這是因為正定矩陣是對稱矩陣，如果A的次對角線的元素不相等，A就不是對稱的，也就沒有必要進一步判定是否是正定的）：

所有特征值大于

行列式及左上角的所有 階子行列式均為正（1≤k≤n）

a > 0, （針對2階矩陣）

對于任意非零向量x，

其中第4個是正定的定義，前3個是用來驗證正定的條件。

當y怎樣取值時，下面的2階矩陣是正定的？

根據條件2可知，

時，即y>18時，矩陣是正定的。

如果y=18，則矩陣正好處于正定的臨界點上，此時A是奇異矩陣，有一個特征值是0，

。我們稱這種處于臨界點上的正定矩陣為半正定矩陣。

2 矩陣的二次型

再來看一下

。對于非零向量x來說，Ax是線性形式，加入 后就變成了含有二次項的形式，比如：

這種形式稱為矩陣的二次型。當然

也只有二次型，沒有三次型和四次型，即使x是更多維度的向量也一樣，比如當x是三維向量時，最終結果仍然只含有二次項：

如果對于任意非零向量x來說，矩陣的二次型都大于0，那么這個矩陣是正定矩陣。

y=18時A是半正定矩陣，當

時，其二次型為0：

3二次型的意義

為了畫出幾何圖形，我們以二階矩陣為例，先看一個非正定矩陣：

它的二次型是

，其幾何圖形如下：

從圖形上看沒有最小值點，原點處是一個鞍點，在某個方向看是極大值，同時又是另一個方向的極小值。下圖是個經典的鞍點，圖形呈馬鞍狀：

再來看正定矩陣：

A的二次型是

，圖形如下：

回顧本節出現的兩個二次型，它們都可以通過配方寫成完全平方的形式：

當x,y不全是0時，可以判斷第2個二次型一定大于0，第一個就不一定了。此外還可以通過二次型判斷臨界點是(0, 0)點。

經過配方后的二次型很奇妙，它還可以來自消元：

消元變成了上三角矩陣。A可以通過LU分解成：

現在把原矩陣、二次型和LU分解放到一塊：

經過消元后的第一個主元是x的系數，第二個主元正是配方項

的系數，如果f大于0，那么這兩個系數一定是正值，這也是為什么正定矩陣的主元一定都為正的原因。

換一個矩陣試試：

其中一個主元是負數，對應的二次型也不能保證一定大于0。

4正定矩陣與最小值

正定矩陣對應的二次型是有最小值的。

4.1 二元函數

判斷一元函數是否有最小值，需要判斷它的導數和二階導，同樣，多元函數是否有最小值也要根據臨界點和二階導判斷。我們在多變量微積分中介紹過怎樣判斷二元函數的最小值，最小值出現在臨界點上：f(x, y)的一個臨界點是

，即 且 ， f的最小值是根據二階導數判斷的：

對于

來說：

臨界點符合最小值的條件，因此(0,0)是

的最小值。這個結論實際上來源于對A的二階導矩陣的正定性的判斷：

對于二元函數的混合偏導來說，

和 是一樣的，因此這個矩陣是對稱矩陣。在求得臨界點后，根據判定正定矩陣的第3條，只要滿足下面的條件，則這個二階導矩陣是正定矩陣：

4.2 三元函數

現在召喚一個三元矩陣，然后判斷它的正定性：

先對其進行消元：

A的主元都大于0，這符合正定矩陣的性質，是一個必要條件。

接下來我們通過子行列式判斷A的正定性：

現在可以確定A是正定矩陣。如果進一步求得特征值，則A的3個特征值是：

特征值之和等于A的跡，特征值之積等于A的主元之積。

A是正定矩陣，因此可以判定A的二次型是有最小值的：

用配方法驗證：

可以看出最小值的點是(0, 0, 0)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的半正定矩阵的判定方法_线性代数30——正定矩阵和最小值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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