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往期文章

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九. Java入門算法（動態規劃篇2：01背包精講）

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動態規劃篇2

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01背包

網上有非常多的文章對01背包進行講解，變量名繁雜，對初學者不怎么友好。在這篇文章里，我盡量講得簡單，不作一些多余的贅述。

不會有人不知道背包是什么吧？

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問題描述

???????把n種物品裝進一個背包，物品 i 的重量是w[ i ]，價值是c[ i ]，背包的容量是M，求能裝進背包的最大總價值。

注：w是存儲n個物品的重量的數組，c是存儲n個物品的價值的數組

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分析

為啥叫01背包呢？因為對于每件物品，只有 不拿（0） 與 拿（1） 兩種狀態。

動態規劃解01背包，關鍵是填二維表dp：

• 行 i 指的是我們當前要考慮裝 i 個物品
• 列 j 表示的是背包剩余容量
• dp [i] [j] 的值是指 i 個物品裝進容量為 j 的背包的最大總價值

當 i 等于物品總量n、j 等于背包容量M的時候，dp [i] [j] 的值就是問題的解。下面根據例子輸入，邊填表邊分析。

輸入：n = 4， M = 10 w[] = [2, 3, 4, 7] c[] = [1, 3, 5, 9] (4個物品裝進容量為10的背包)

• 初始化第0行為全0，沒有物品，不管容量多大，價值只能是0
• 初始化第0列為全0，容量為0，裝不下任何物品，價值只能是0

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現在只考慮裝 1 件物品（i = 1）

• dp[1][1] = 0，容量為1的背包裝不下第 1 件物品，因為它的重量為2

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• dp[1][2] = 1，此時容量為2的背包可以裝下物品1，而它的價值為1

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• 第1行后面容量>1的背包，都可以裝下物品1，因此它們的價值都為1

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現在考慮的是裝 2 件物品（i = 2）

• dp[2][1] = 0，容量為1的背包即裝不下物品1（重量2）也裝不下物品2（重量3）

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• 容量為2的背包裝不下物品2，但可以裝下物品1
• 因此dp[2][2] = dp[1][2] = 1

此時引出第一種情況:

當背包容量小于物品 i 的重量 w[i] 時，拿不了物品 i ，所以考慮拿 i - 1個物品的最大總價值。

得到狀態轉移方程: dp[i][j] = dp[ i - 1][j] ( j < w[i])

if (j < w[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}

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• 容量為3的背包既可以裝下物品2、也可以裝下物品1。要使價值最大，我們肯定會選裝物品2，這樣就是dp[2][3] = 3。
• 此時的背包容量都用來裝物品2，已經滿了，裝不下物品1（對應dp[1][0] = 0）。
• 但這只是我們主觀得出的選擇，計算機怎么知道是選裝物品1還是物品2呢？

此時引出第二種情況：

當背包容量大于物品 i 的重量 w[i] 時，可以拿物品 i ，此時需要考慮拿了物品 i 的價值大，還是不拿物品 i 的價值大

不拿物品 i ，就是第一種情況，考慮拿 i - 1個物品的最大總價值

拿物品 i ，就需要把物品 i 裝入到背包（+c[i]）。但！還需要考慮裝完物品 i 的背包還可以裝多少（+ dp[ i - 1][ j - w[i]]，即上述的 dp[1][0]）

得到狀態轉移方程: dp[i][j] = c[i] + dp[ i - 1][ j - w[i]] ( j >= w[i])

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如下，容量為5的背包，兩個物品都可以裝下

所以dp[2][5] = c[2] + dp[1][5 - 3] 即 4 = 3 + 1

if (j >= w[i]) {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]);}

綜上，可以得到總的狀態轉移方程：

$$dp[i][j]=dp[i?1][j]，(j<w[i])$$
$$dp[i][j]=c[i]+dp[i?1][j?w[i]]，(j>=w[i])$$
狀態轉移方程代表了我們接下來的選擇，根據它計算出表內的所有值，如下圖

時間復雜度為O（n²），空間復雜度為O（M*n）

得到題目答案：12

完整代碼

// 二維dppublic static int dp_2d(int n, int[] w, int[] c, int M) {int[][] dp = new int[n + 1][M + 1];for (int i = 1; i < n + 1; ++i) {for (int j = 1; j < M + 1; ++j) {if (j < w[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], c[i] + dp[i - 1][j - w[i]]);}}}return dp[n][M];}

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進階

滾動數組

• 由上述的填表順序可以發現，每次 dp[i][j] 的值都是由 i - 1 行左上方或正上方的dp值得出。因此可以嘗試把 [i] 這一維度去除，二維dp降成一維dp，通過不斷刷新一維dp表的值，模擬上述二維dp的填表過程。時間復雜度仍為O(n^2^)，空間復雜度降為O（M）。
• 但會發現若按照從左往右的順序填表，會把需要用到的值覆蓋，固填表方向需要反過來。

完整代碼

// 二維降一維，滾動數組public static int dp_1d(int n, int[] w, int[] c, int M) {int[] dp = new int[M + 1];for (int i = 1; i < n + 1; ++i) {for (int j = 1; j < M + 1; ++j) {if (j >= w[i]) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + c[i]);}}}return dp[M];}

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END

參考資料：
https://www.bilibili.com/video/BV1C7411K79wfrom=search&seid=9137630755457139754

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Java入门算法（动态规划篇2：01背包精讲）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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