斯特林數的四種求法

一、第一類斯特林數求行

因為

[x^{overline{n}}=sum_{i=0}^{n}left[egin{matrix}n\iend{matrix}ight]x^i
]

所以只要求出(x^{overline{n}})的系數就能求出第一類斯特林數的一行，那么如何求解(x^{overline{n}})呢？

注意到(x^{overline{2n}}=x^{overline{n}}(x+n)^{overline{n}})，因此只要我們能夠在已知(f(x))的情況下快速求解(f(x+n))，那么就可以通過(mathcal O(nlog(n)))完成。

不妨設

[f(x)=sum_{i=0}^{n}a_ix^i
]

那么

[egin{aligned}
f(x+c)&=sum_{i=0}^{n}a_i(x+c)^i\
&=sum_{i=0}^{n}a_isum_{j=0}^{i}inom ijx^jc^{i-j}\
&=sum_{j=0}^{n}x^jsum_{i=j}^{n}a_iinom ij c^{i-j}\
&=sum_{j=0}^{n}dfrac{x^j}{j!}sum_{i=j}^{n}a_ii!dfrac{c^{i-j}}{(i-j)!}
end{aligned}
]

后面是一個減法卷積的形式了，于是可以(mathcal O(nlog(n)))快速求解。

#include "poly.cpp"

inline poly trans(poly f,int n,int c){
	init_inv(n);
	poly g;int t=1;
	for(int i=0;i<n;t=1ll*t*c%mod,++i) f[i]=1ll*base[i]*f[i]%mod,g[i]=1ll*t*jc[i]%mod;
	reverse(f.v.begin(),f.v.begin()+n);
	poly h=Basic::mul(f,g,n,n),ret;
	for(int i=0;i<n;++i) ret[i]=1ll*h[n-1-i]*jc[i]%mod;
	return ret;
}
inline poly solve(int l,int r){
	if(l>r) return poly(1);
	if(l==r){poly g;g[1]=1;g[0]=l;return g;}
	int len=r-l+1,mid=(l+r)>>1;
	if(len&1) return Basic::mul(solve(l,mid),solve(mid+1,r),mid-l+2,r-mid+1);
	else{
		poly g=solve(l,mid),h=trans(g,mid-l+2,len/2);
		return Basic::mul(g,h,mid-l+2,r-mid+1);
	}
}
int main(){
//	freopen("poly.in","r",stdin);
	int n=Rint;
	init_poly((n+1)<<1);
	solve(0,n-1).print(n+1);
	IO::flush();
	return 0;
}

二、第二類斯特林數求行

利用通項公式直接求解即可。

[left{egin{matrix}n\mend{matrix}ight}=dfrac{1}{m!}sum_{k=0}^{m}(-1)^kinom{m}{k}(m-k)^n
]

#include "poly.cpp"

int n,m;
poly f,g;
int main(){
//	freopen("poly.in","r",stdin);
	n=Rint;
	init_poly((n+1)<<1);
	init_inv(n+1);
	for(int i=0;i<=n;++i){
		f[i]=1ll*jc[i]*(i&1?mod-1:1)%mod;
		g[i]=1ll*ksm(i,n)*jc[i]%mod;
	}
	f=Basic::mul(f,g,n+1,n+1);f.print(n+1);
	IO::flush();
	return 0;
} 

三、第一類斯特林數求列

一個環的EGF為

[F(x)=sum_{i=1} dfrac{(i-1)!}{i!}x^i=ln(frac{1}{1-x})
]

于是答案的EGF就是：

[frac{F(x)^k}{k!}
]

除(x!)是因為集合是無序的，而(k)次方把它當成了有序。

#include "poly.cpp"

int n,k,base[N],ivk;
poly f;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(n<k){for(int i=0;i<=n;++i) pc('0'),pc(' ');IO::flush();return 0;}
	init_inv(n+1);
	init_poly(n+1);
	base[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) base[i]=1ll*base[i-1]*i%mod;
	int ivk=ksm(base[k],mod-2);
	for(int i=1;i<=n;++i) f[i-1]=iv[i];
	f=Exp::getpow(f,n,k);
	for(int i=0;i<k;++i) pc('0'),pc(' ');
	for(int i=k,j=0;i<=n;++i,++j)
		put(1ll*f[j]*base[i]%mod*ivk%mod,' ');
	IO::flush(); 
	return 0;
}

四、第二類斯特林數求列

一個集合的EGF為：

[sum_{i=1}frac{1}{i!}x^i=e^x-1
]

于是同理多項式快速冪即可。

#include "poly.cpp"

int n,k,base[N],jc[N],ivk;
poly f;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(n<k){for(int i=0;i<=n;++i) pc('0'),pc(' ');IO::flush();return 0;}
	init_inv(n+1);
	init_poly(n+1);
	base[0]=1;jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) base[i]=1ll*base[i-1]*i%mod,jc[i]=1ll*jc[i-1]*iv[i]%mod;
	int ivk=ksm(base[k],mod-2);
	for(int i=1;i<=n;++i) f[i-1]=jc[i];
	f=Exp::getpow(f,n-k+1,k);
	for(int i=0;i<k;++i) pc('0'),pc(' ');
	for(int i=k,j=0;i<=n;++i,++j)
		put(1ll*f[j]*base[i]%mod*ivk%mod,' ');
	IO::flush(); 
	return 0;
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的斯特林数的四种求法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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