1. 引入

數是數學的一個最基本概念, 回顧一下我們曾經學習過的數的發展過程:

(1) 代數性質: 關于數的加, 減, 乘 , 除等運算的性質稱為數的代數性質.
(2) 數集: 數的集合簡稱數集.
常見的數集: 復試C; 實數R;有理數Q等等. 它們有一個共同的性質就是對加減乘除運算封閉.

2. 數域的定義

設F是由一些復數組成的集合, 其中包括0和1, 如果F中任意兩個數的和, 差, 積, 商(除數不為0)扔是F中的數, 則稱F為一個數域.
從數域的定義可以看出一個數域要滿足:

• 為復數的子集;
• 包含0和1;
• 對加減乘除運算封閉.

常見的數域: 復數域C, 實數域R, 有理數域Q. (自然數集合N和整數集合Z都不是數域.)
注意:
(1) 若數集F中任意兩個數作某種運算的結果仍在F中, 則稱數集F對這個運算時封閉的.
(2) 數域的等價定義: 如果一個包含0, 1在內的數集F對于加法, 減法, 乘法和除法(除數不能為0)都是封閉的, 則稱數集F為一個數域.

那么除了有理數域Q, 實數域R和復數域C外, 還有其他的數域嗎? 當然有!

例 1. 證明: 數集 Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } Q( \sqrt2)=\{a + b \sqrt2 | a, b \in Q\} Q(2
?)={
a+b2
?∣a,b∈Q}是一個數域.
證明:
(1) { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } ? C \{a+b\sqrt2| a, b\in Q\} \subseteq C {
a+b2
?∣a,b∈Q}?C
(2) 因為 0 = 0 + 0 2 , 1 = 1 + 0 2 0=0 +0\sqrt2, 1= 1+0\sqrt2 0=0+02
?,1=1+02
?, 所以 0 , 1 ∈ Q ( 2 ) 0, 1 \in Q(\sqrt2) 0,1∈Q(2
?)
(3) 設 a , b , c , d ∈ Q a, b, c, d\in Q a,b,c,d∈Q, 則有
x ± y = ( a ± c ) + ( b ± d ) 2 ∈ Q ( 2 ) , x\pm y = (a\pm c) + (b\pm d)\sqrt2 \in Q(\sqrt2), x±y=(a±c)+(b±d)2
?∈Q(2
?),
x . y = ( a c + 2 b d ) + ( a d + b c ) 2 ∈ Q ( 2 ) x.y =(ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt2 \in Q(\sqrt2) x.y=(ac+2bd)+(ad+bc)2
?∈Q(2
?)
設 a + b 2 ≠ 0 a+b\sqrt2 \ne 0 a+b2
??=0, 則有 a ? b 2 ≠ 0 a-b\sqrt2 \ne 0 a?b2
??=0

( 否則, 若 a ? b 2 = 0 a-b\sqrt2 =0 a?b2
?=0, 則 a = b 2 a=b\sqrt2 a=b2
?,
\quad 于是有 a b = 2 ∈ Q \frac{a} =\sqrt2 \in Q ba?=2
?∈Q
\quad 或 a = 0 , b = 0 ? a + b 2 = 0 a=0, b=0\Rightarrow a+b\sqrt2=0 a=0,b=0?a+b2
?=0 皆矛盾)

c + d 2 a + b 2 = ( c + d 2 ) ( a ? b 2 ) ( a + b 2 ) ( a ? b 2 ) = a c ? 2 b d a 2 ? 2 b 2 + a d ? b c a 2 ? 2 b 2 2 ∈ Q ( 2 ) \frac{c+d\sqrt2}{a+b\sqrt2}=\frac{(c+d\sqrt2)(a-b\sqrt2)}{(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)}=\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}+\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}\sqrt2\in Q(\sqrt2) a+b2
?c+d2
??=(a+b2
?)(a?b2
?)(c+d2
?)(a?b2
?)?=a2?2b2ac?2bd?+a2?2b2ad?bc?2
?∈Q(2
?)

所以, Q ( 2 ) Q(\sqrt2) Q(2
?)為數域.
可以證明類似 { a + b p ∣ a , b ∈ Q } , p 為 素 數 \{a+b\sqrt p|a,b\in Q\}, p為素數 {
a+bp
?∣a,b∈Q},p為素數, 都為為數域, 所以數域有無窮多個.

例2: 設F是至少含兩個數的數集, 證明: 若F中任意兩個數的差與商(除數不為0)仍屬于F, 則F為一個數域.

證明: 由題設任取 a , b ∈ F a, b \in F a,b∈F, 有
0 = a ? a ∈ F , 1 = b b ∈ F ( b ≠ 0 ) 0=a-a\in F, 1=\frac\in F(b\ne 0) 0=a?a∈F,1=bb?∈F(b?=0),
a ? b ∈ F , a b ∈ F ( b ≠ 0 ) a-b\in F, \frac{a}\in F(b\ne 0) a?b∈F,ba?∈F(b?=0),
a + b = a ? ( 0 ? b ) ∈ F a+b = a-(0-b)\in F a+b=a?(0?b)∈F,
b ≠ 0 時 , a b = a 1 b ∈ F , b = 0 時 , a b = 0 ∈ F b \ne 0時, ab=\frac{a}{\frac{1}}\in F, b=0時, ab=0\in F b?=0時,ab=b1?a?∈F,b=0時,ab=0∈F,
所以, F是一個數域.

3. 數域的性質

性質1: 任意數域F都包括有理數域Q. 即, 有理數域為最小數域.
證明:
設F為任意一個數域. 由定義可知:
0 ∈ F , 1 ∈ F . \quad 0\in F, 1\in F. 0∈F,1∈F.
于是有
? m ∈ Z + , m = 1 + 1 + . . . + 1 ∈ F \forall m \in Z^+, m = 1+1+…+1\in F ?m∈Z+,m=1+1+...+1∈F
進而有
? m , n ∈ Z + , m n ∈ F \quad \forall m, n\in Z^+, \frac{m}{n}\in F ?m,n∈Z+,nm?∈F,
? m n = 0 ? m n ∈ F \quad -\frac{m}{n}=0-\frac{m}{n}\in F ?nm?=0?nm?∈F.
而任意一個有理數可表示為兩個整數的商, 所以
Q ? F Q\subseteq F Q?F

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第一讲 数域_域 数学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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