本類題幾乎年年必考，今年很大可能考條件極值。本次總結(jié)思路為主，計(jì)算量過(guò)大，故略。

一、無(wú)條件極值

該問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單只需注意以下兩類問(wèn)題

1、概念判斷

如何方便記憶？

例題（1）

由題意易得f(0,0)=0

（1）

（2）

方法與（1）一致，湊出可微定義式即可。同樣成立

（3）、（4）

運(yùn)用放縮思想即可，如果不會(huì)也可以運(yùn)用脫帽法

故由定義可知，在(0,0)處一定取得極小值

例題（2）

同理對(duì)分母進(jìn)行放縮即可，再有保號(hào)性和定義即可判斷

2、常規(guī)計(jì)算

例題（1）

這個(gè)稱之為常規(guī)計(jì)算，類比2020無(wú)條件極值只是單純考驗(yàn)計(jì)算

只需要注意：多元函數(shù)在有界閉區(qū)域（閉區(qū)域指包含邊界的區(qū)域）也一定具有最值；且在區(qū)域內(nèi)部的最值一定為極值。

對(duì)于本題第一問(wèn)常規(guī)計(jì)算即可。

對(duì)于第二問(wèn)，我們會(huì)進(jìn)行判斷，因?yàn)?strong>區(qū)域內(nèi)部最值一定為極值，而由（1）（這里略去計(jì)算，很簡(jiǎn)單）內(nèi)部沒有極大值，故得出最大值一定在邊界取。再取邊界上任意值（如（0，-2）和（1）中極小值比較）即可。綜上，可以得出最值一定在邊界取得。

例題（2）

毫無(wú)技巧可言，就是隱函數(shù)求偏導(dǎo)+計(jì)算

例題（3）

這個(gè)稱之為轉(zhuǎn)化思想計(jì)算，即在一定程度上將二元化為一元，精簡(jiǎn)計(jì)算量，只做學(xué)習(xí)。

按步驟求解會(huì)得到兩組解①(x,y)=(0,0) ②x²+y²=1

再對(duì)①進(jìn)行判斷時(shí)，從定義入手，會(huì)立刻判斷出為極小值

而對(duì)②進(jìn)行判斷時(shí)，如果再去求二次偏導(dǎo)就太麻煩，不妨令x²+y²=t轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)求導(dǎo)來(lái)判斷

二、條件極值

該類問(wèn)題是今年的重點(diǎn)，難點(diǎn)就在于①找出限制條件②構(gòu)造λ的目標(biāo)函數(shù)③計(jì)算

①對(duì)于限制條件：

一般就是題目給出或者實(shí)際問(wèn)題條件轉(zhuǎn)化

②對(duì)于目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造：

學(xué)會(huì)靈活變通，這樣會(huì)精簡(jiǎn)計(jì)算

③計(jì)算：

對(duì)于求解拉格朗日乘數(shù)法，要學(xué)會(huì)作差和作商，及一定線性代數(shù)、極坐標(biāo)的運(yùn)算方法

1、常規(guī)計(jì)算

介紹簡(jiǎn)單的計(jì)算，只考察對(duì)區(qū)域內(nèi)部和邊界進(jìn)行判斷，然后就是計(jì)算

例題（1）

算出f(x,y)表達(dá)式后，本道真題仍是純計(jì)算，不過(guò)就是需要分類討論一下，先由無(wú)條件極值計(jì)算區(qū)域D內(nèi)部極值，再由條件極值，構(gòu)造，算出D邊界的極值，當(dāng)然對(duì)于本問(wèn)，令x=cost、y=2sint進(jìn)行計(jì)算會(huì)更加快速。

例題（2）

仍是無(wú)條件極值計(jì)算區(qū)域D內(nèi)部極值；對(duì)于D邊界，本題較為特殊，單獨(dú)考慮x軸、y軸和x+y=6，這里x軸、y軸判斷較為簡(jiǎn)單，對(duì)于x+y=6，比較特殊，可以將該條件代入f(x,y)化為一次函數(shù)，求導(dǎo)判斷極值。

當(dāng)然上述兩題，方法單一，目標(biāo)明確，就是單純計(jì)算量極大。

2、應(yīng)用

比較考察計(jì)算和函數(shù)的構(gòu)造，以及對(duì)幾何知識(shí)的了解（比如：點(diǎn)到面的距離、開口水箱表面積、切線法線、橢球內(nèi)接長(zhǎng)方體等等）

例題（1）

本題還是雙條件極值，但不難，難在對(duì)函數(shù)的構(gòu)造

大體圖像如上，，點(diǎn)到平面距離可想而知就是|z|，但是如果求偏導(dǎo)豈不是不存在，此時(shí)我們就需要構(gòu)造F=z²+λ(...)+u(...)的函數(shù)，最后對(duì)得出的結(jié)果開方即可。

例題（2）

本道題就是對(duì)給出條件進(jìn)行分析了，假設(shè)分為三段為x、y、z，那么限制條件就是x+y+z=2，而面積需要先由x、y、z從周長(zhǎng)得出邊長(zhǎng)在計(jì)算，最難的仍是后面大量的計(jì)算。【本題運(yùn)用柯西不等式可以秒解，但考試貌似是不能運(yùn)用，故此不寫了】

3、特殊計(jì)算

我做了李永樂的歷年真題集的多元函數(shù)極值問(wèn)題章節(jié)，感覺此類問(wèn)題涉及的壓根沒有，而是別的輔導(dǎo)書上有過(guò)出現(xiàn)。可能是考研就是單純想考對(duì)這一塊的應(yīng)用，而非計(jì)算上的花里胡哨。當(dāng)然看看也無(wú)妨。

例題（1）

本題原題干有限制必須運(yùn)用條件極值（我沒截圖），但是運(yùn)用條件極值，首先限制條件不好想，其次計(jì)算量也不小，感興趣可以計(jì)算一下，這里是令(x+y+z)/6=a為限制條件，構(gòu)造F=xy²z³-λ[(x+y+z)/6-a]

本題如果沒限制，還可以運(yùn)用基本不等式：

例題（2）

本題重點(diǎn)在于對(duì)f(x,y)有唯一駐點(diǎn)的理解，先看答案：

將本話轉(zhuǎn)為方程唯一解，即行列式不為0，考察一定的線代知識(shí)。

例題（3）

本題解法在于如何使用最值均滿足該方程這個(gè)條件，分為兩個(gè)方法：

法一：直接構(gòu)造求解，擠牙膏算就行（結(jié)合了一些線性代數(shù)的知識(shí)）

法二：構(gòu)造二次型，避開繁雜的計(jì)算（只做學(xué)習(xí)即可，但同濟(jì)教材有該類型題目）

以下是老師單獨(dú)講的一道10年數(shù)三真題：運(yùn)用三種方法求解，包含二次型的講解：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的无条件极值与条件极值的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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