本類題幾乎年年必考，今年很大可能考條件極值。本次總結(jié)思路為主，計算量過大，故略。

一、無條件極值

該問題相對簡單只需注意以下兩類問題

1、概念判斷

如何方便記憶？

例題（1）

由題意易得f(0,0)=0

（1）

（2）

方法與（1）一致，湊出可微定義式即可。同樣成立

（3）、（4）

運(yùn)用放縮思想即可，如果不會也可以運(yùn)用脫帽法

故由定義可知，在(0,0)處一定取得極小值

例題（2）

同理對分母進(jìn)行放縮即可，再有保號性和定義即可判斷

2、常規(guī)計算

例題（1）

這個稱之為常規(guī)計算，類比2020無條件極值只是單純考驗計算

只需要注意：多元函數(shù)在有界閉區(qū)域（閉區(qū)域指包含邊界的區(qū)域）也一定具有最值；且在區(qū)域內(nèi)部的最值一定為極值。

對于本題第一問常規(guī)計算即可。

對于第二問，我們會進(jìn)行判斷，因為區(qū)域內(nèi)部最值一定為極值，而由（1）（這里略去計算，很簡單）內(nèi)部沒有極大值，故得出最大值一定在邊界取。再取邊界上任意值（如（0，-2）和（1）中極小值比較）即可。綜上，可以得出最值一定在邊界取得。

例題（2）

毫無技巧可言，就是隱函數(shù)求偏導(dǎo)+計算

例題（3）

這個稱之為轉(zhuǎn)化思想計算，即在一定程度上將二元化為一元，精簡計算量，只做學(xué)習(xí)。

按步驟求解會得到兩組解①(x,y)=(0,0) ②x²+y²=1

再對①進(jìn)行判斷時，從定義入手，會立刻判斷出為極小值

而對②進(jìn)行判斷時，如果再去求二次偏導(dǎo)就太麻煩，不妨令x²+y²=t轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)求導(dǎo)來判斷

二、條件極值

該類問題是今年的重點，難點就在于①找出限制條件②構(gòu)造λ的目標(biāo)函數(shù)③計算

①對于限制條件：

一般就是題目給出或者實際問題條件轉(zhuǎn)化

②對于目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造：

學(xué)會靈活變通，這樣會精簡計算

③計算：

對于求解拉格朗日乘數(shù)法，要學(xué)會作差和作商，及一定線性代數(shù)、極坐標(biāo)的運(yùn)算方法

1、常規(guī)計算

介紹簡單的計算，只考察對區(qū)域內(nèi)部和邊界進(jìn)行判斷，然后就是計算

例題（1）

算出f(x,y)表達(dá)式后，本道真題仍是純計算，不過就是需要分類討論一下，先由無條件極值計算區(qū)域D內(nèi)部極值，再由條件極值，構(gòu)造，算出D邊界的極值，當(dāng)然對于本問，令x=cost、y=2sint進(jìn)行計算會更加快速。

例題（2）

仍是無條件極值計算區(qū)域D內(nèi)部極值；對于D邊界，本題較為特殊，單獨考慮x軸、y軸和x+y=6，這里x軸、y軸判斷較為簡單，對于x+y=6，比較特殊，可以將該條件代入f(x,y)化為一次函數(shù)，求導(dǎo)判斷極值。

當(dāng)然上述兩題，方法單一，目標(biāo)明確，就是單純計算量極大。

2、應(yīng)用

比較考察計算和函數(shù)的構(gòu)造，以及對幾何知識的了解（比如：點到面的距離、開口水箱表面積、切線法線、橢球內(nèi)接長方體等等）

例題（1）

本題還是雙條件極值，但不難，難在對函數(shù)的構(gòu)造

大體圖像如上，，點到平面距離可想而知就是|z|，但是如果求偏導(dǎo)豈不是不存在，此時我們就需要構(gòu)造F=z²+λ(...)+u(...)的函數(shù)，最后對得出的結(jié)果開方即可。

例題（2）

本道題就是對給出條件進(jìn)行分析了，假設(shè)分為三段為x、y、z，那么限制條件就是x+y+z=2，而面積需要先由x、y、z從周長得出邊長在計算，最難的仍是后面大量的計算。【本題運(yùn)用柯西不等式可以秒解，但考試貌似是不能運(yùn)用，故此不寫了】

3、特殊計算

我做了李永樂的歷年真題集的多元函數(shù)極值問題章節(jié)，感覺此類問題涉及的壓根沒有，而是別的輔導(dǎo)書上有過出現(xiàn)。可能是考研就是單純想考對這一塊的應(yīng)用，而非計算上的花里胡哨。當(dāng)然看看也無妨。

例題（1）

本題原題干有限制必須運(yùn)用條件極值（我沒截圖），但是運(yùn)用條件極值，首先限制條件不好想，其次計算量也不小，感興趣可以計算一下，這里是令(x+y+z)/6=a為限制條件，構(gòu)造F=xy²z³-λ[(x+y+z)/6-a]

本題如果沒限制，還可以運(yùn)用基本不等式：

例題（2）

本題重點在于對f(x,y)有唯一駐點的理解，先看答案：

將本話轉(zhuǎn)為方程唯一解，即行列式不為0，考察一定的線代知識。

例題（3）

本題解法在于如何使用最值均滿足該方程這個條件，分為兩個方法：

法一：直接構(gòu)造求解，擠牙膏算就行（結(jié)合了一些線性代數(shù)的知識）

法二：構(gòu)造二次型，避開繁雜的計算（只做學(xué)習(xí)即可，但同濟(jì)教材有該類型題目）

以下是老師單獨講的一道10年數(shù)三真題：運(yùn)用三種方法求解，包含二次型的講解：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的无条件极值与条件极值的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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