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1.普通正態分布轉換標準正態分布公式

我們知道正態分布是由兩個參數 μ \mu μ與 σ \sigma σ確定的。對于任意一個服從 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)分布的隨機變量 X X X，經過下面的變換以后都可以轉化為 μ = 0 , σ = 1 \mu=0, \sigma=1 μ=0,σ=1的標準正態分布(standard normal distribution)。轉換公式為:
z = X ? μ σ z = \frac{X-\mu}{\sigma} z=σX?μ?

2.證明

概率統計的教科書上一般直接給出這個結論，并沒有給出相應的證明。下面我們來看看這個結論的推理過程。由于犯懶懶得編輯公式，直接貼截圖，證明過程來自參考文獻1。

3.幾個應用的例子

3.1 假設公共汽車門的高度按成年男性碰頭機會小于1%來設計。又假設成年男性的身高服從正態分布 X ～ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X～N(170,62)，求問車門的高度 h h h為多少?

假設身高這一隨機變量為 X X X，那么要求的問題為:
P ( x > h ) = 0.01 P(x > h) = 0.01 P(x>h)=0.01
即
1 ? P ( x ≤ h ) = 0.01 1 – P(x \le h) = 0.01 1?P(x≤h)=0.01
P ( x ≤ h ) = 0.99 P(x \le h) = 0.99 P(x≤h)=0.99

因為 X ～ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X～N(170,62), 所以 h ? 170 6 ～ N ( 0 , 1 ) \frac{h – 170}{6} \sim N(0, 1) 6h?170?～N(0,1)。
通過查標準正態分布表可知, P ( z ≤ 2.33 ) = 0.99 P(z \le 2.33) = 0.99 P(z≤2.33)=0.99
因此h = 170 + 6 * 2.33 = 183.98cm

3.2 現在有一個 μ = 10 \mu = 10 μ=10和 σ = 2 \sigma = 2 σ=2的正態隨機變量，求x在10與14之間的概率是多少？
當x=10時，z = 0。當x=14時，z = (14-10)/2 = 2。于是，x在10與14之間的概率等價于標準正態分布中0與2之間的概率。
P ( 0 ≤ z ≤ 2 ) = P ( z ≤ 2 ) ? P ( z ≤ 0 ) = 0.4772 P(0 \le z \le 2) = P(z \le 2) – P(z \le 0) = 0.4772 P(0≤z≤2)=P(z≤2)?P(z≤0)=0.4772

參考文獻：
1.https://www.zhihu.com/question/30121927

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普通正态分布如何转换到标准正态分布中_正态分布化成标准正态的公式(中华人民共和国通用的现代标准汉语)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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