1. 線積分

線積分的對象為數值量函數，用于計算諸如“非均勻曲線質量”這樣的問題。解決辦法是將曲線分割成無數小段，在每個小段上質量近似不變，于是總質量就是∑ρ(xi,yi)⊿s，ρ是線密度且表示為(x,y)的函數，s是曲線長度。再想想如何計算曲線長度并將問題一般化，就可以得到二維情形下的積分式子：

（假定曲線方程為y(x)，線密度為f(x,y)）

∫f(s)ds = ∫f(x,y(x))sqrt(1+y'²)dx

拓展到三維，將曲線使用向量式子表示，并使用參變量，就得到：

f(x,y,z)在曲線上取值，上式中假定曲線r可寫為參變量t的形式<g(t), h(t), k(t)>，并利用了ds=|v(t)|dt。

實際計算時可由曲線向量式r(t)求導得到v(t)從而得到|v(t)|。

2. 向量場積分

同濟《高等數學》教材稱之為對坐標的曲線積分，因為積分式最終可化為對坐標積分形式。這里我們按《托馬斯微積分》的名詞稱之為向量場積分。這種積分可用于計算變力在曲線上做的功。在計算時取函數在向量方向的分量，積分對象為向量函數（相比之下，線積分的對象為數值量函數）。

從上式中看出，向量場上的積分也可看作被積向量在曲線切方向上的(數值)線積分。

r是曲線（位置）向量，dr是沿曲線切線方向的向量，∫F·dr就是向量場積分。

對于已知F和r的情況，使用∫F·vdt最為直觀。

另，上圖中r是位置向量，但dr不是（？）。

后三個式子（...=∫Mdx+Ndy+Pdz）可以這么理解：分別在各個方向計算“力”和“運動距離”的乘積然后累加。例如，M是“力”（F）在x方向的分量，而dx是“運動軌跡”（r）在x方向的瞬時分量。

3. 流量積分與環流量

流量積分有兩種：沿曲線方向和垂直曲線方向。這個小節先說第一種：沿曲線方向。如果曲線是直線，速度向量又沿著曲線方向且恒定，那么沿沿曲線方向的流量就是速率|v|乘上線長度。當然一般來說曲線非直線，速度也非恒定；此時流量積分（包括環流量）使用和向量場積分相同的式子：任意方向的“流”均可分解為沿曲線的切方向與法方向；只有切方向計入沿曲線的流量，法方向的“流”對流量的影響為0。

4. 通量

通量也稱為“穿過曲線的流量”，是流出與進入某曲線圍成區域流量的差，因此計算時使用垂直于曲線方向（法線方向）的速度分量。如果直接計算我們需要先算曲線的法向量n然后算F·n，好在一般來說我們不需要計算曲線的法向分量（對二維情況），而直接使用下述式子：

我們把一條平面曲線在某點的切分量和法分量都畫一下：

上圖中，法向量以小寫n表示，避免與流速向量的N分量沖突。對于一個在x方向和y方向上的分量分別為dx和dy的小線段，從該線段的M方向上流出區域的量為Mdy，N方向流入區域的量為Ndx，綜合起來在該線段上的總流出量就是Mdy-Ndx。上圖中T和n的x分量同符號，y分量反符號，于是Mdy取正（M沿x方向），Ndx取負（N沿y方向）。

也許下面的圖更加直觀一點（注意環線上的箭頭方向）：

Mdy：流出矩形（M入左側負向環線，出右側正向環線）

Ndx：流入矩形（N入下側正向環線，出上側負向環線）

[附注：直接用F.n而不用Mdy-Ndx也是可以的；看哪個方便了。n是曲線方程標量形式f(x,y)梯度的單位化。]

5. 通量密度、散度；環量密度，旋度（k分量）

“散度”可理解為向量的“發散程度”，將x方向和y方向的發散程度（偏導）相加即得。

環量密度可以這樣考慮：向量繞某點“旋轉”的原因是內外流速差，N方向的內外流速差為dN/dx，M方向的流速差為-dM/dy。

6. 格林定理

[警告：以下兩張圖片復制自《托馬斯微積分》中文版，不幸的是存在錯誤。當然，我相信對于你發現這個錯誤并不困難。]

散度是向量在區域某點的“發散”程度，在整個區域內積分就得到該區域上的通量；

旋度是向量繞區域某點的“旋轉”程度，在整個區域內積分就得到該區域上的環量。

7. 積分路徑無關條件

梯度場總是指向函數增長最快的方向，所以梯度場的旋度為0（既然指向增長最快方向，那么肯定“旋”不回來）。

如果某個場的旋度為0，那就表示沿該場內任意閉路徑積分為0（路徑無關）。

如果某個場的旋度不為0，假設這是個力場，那就表示質點可以在力總是做正功的情況下回到起點（？）。

即：旋度為0 <=> 是某標量場梯度 <=> 積分路徑無關（保守場）

判斷是否為保守場直接計算旋度即可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的向量场中的积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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