(数论六)关于欧拉(定理、公式、函数、降幂)
? 最最開始的時候，我以為歐拉函數，歐拉定理，歐拉公式是一個東西，傻傻分不清。傻笑～
? 后來知道，這完完全全是三種東西！！要說有啥必然的聯系，它們可能都叫歐拉吧～
? 首先，我們來講一下三者的定義：
? 歐拉定理：若n,a為正整數且互質，則a^(Φ(n)) = 1 (mod n)
? 歐拉公式：e^(i✖️x) = cos(x) + i✖️sin(x) （例如把x = π帶進去，得e^(i✖️π) = -1）
? 歐拉函數：Φ(n)，用于求1～n中與n互質的個數，若n為質數，那么Φ(n) = n - 1
? 歐拉降冪：我們知道當冪特別大的時候可以用快速冪來求，而當冪大到10^1000時快速冪也求不了了。。這時候就需要用到歐拉降冪，它的定理如下（前提是a，p互質）：
? a^b ≡ a^(b % Φ(p) + Φ(p)) (mod p)，當x >= p時
? a^b ≡ a^(b % Φ(p)) (mod p)，當x < p時
關于歐拉公式在ACM中我還沒有做過相關的題，因此先只講歐拉函數和歐拉降冪，歐拉定理
一.關于歐拉定理沒什么好說的～
? 之前我們說過一嘴費馬小定理：a ^ (p - 1 ) ≡ 1 (mod p)
? 又說過當p為素數時Φ(p) = p - 1，因此歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣
二.關于歐拉函數的求解，我們知道n為質數的情況了，若n為合數呢？
? 學到了以下四種求法n的歐拉函數：
? 1.利用容斥原理：
? 我們先找到n的全部質因子，然后利用容斥原理刪掉全部的因子，剩下的就是與n互質的個數
? 例如30 = 2✖️3✖️5
? Φ(30) = 30 - 30 / 2 - 30 / 3 - 30 / 5 + 30 / (2✖️3) + 30 / (2✖️5) + 30 / (3✖️5) - 30 / (2✖️3✖️5)
? = 8
? 2.上面的寫法很麻煩，下面有種簡便的寫法：
? 30 = 30✖️1 / 2 ✖️2 / 3✖️4 / 5 = 8，這樣就能自動容斥啦，時間復雜度是O(sqrt(n))
? 3.埃篩法：
? 是不是很耳熟！！！對，求素數有埃篩和線篩，求歐拉函數也有埃篩和線篩～，埃篩的原理就是利用方法2～，時間復雜度是O(n✖️sqrt(n))
?
? 代碼如下：
void getEuler() {
|
?
? 4.線性篩
? 線性篩，顧名思義就是線性求解1～n的歐拉函數，需用到一下幾個性質：
? 1.當p為素數時，Φ(p) = p - 1;
? 2.當p為素數且i % p ==0時，Φ(i✖️p) = Φ(i)✖️p
? 3.當p為素數且i % p != 0時，Φ(i✖️p) = Φ(i)✖️(p - 1)
? 代碼如下：
ll phi[N + 5]; //存儲歐拉函數 |
三.歐拉降冪：
? 根據 a^b ≡ a^(b % Φ(p) + Φ(p)) (mod p)，當x >= p時
? a^b ≡ a^(b % Φ(p)) (mod p)，當x < p時
? 我們可以得到以下代碼：
#define Mod(a, b) a < b? a: a % b + b //重定義取模，按照歐拉定理的條件 |
注意！！當快速冪需要用到之前的遞歸時，也需要迭代模!!!
? 例如 a[1]^(a[2]^(a[3]^(a[4]…)))
LL solve(LL l,LL r,LL mod) {
|
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的(数论六)关于欧拉(定理、公式、函数、降幂)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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