第一章 隨機事件與概率

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概率論與數理統計研究對象是隨機現象：

概率論：研究隨機現象的模型(概率分布)；
數理統計：隨機現象的數據收集與處理。

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§1.1 隨機事件及其運算

隨機現象：在一定條件下并不總是出現相同的結果的現象；

隨機試驗：對在相同條件下可以重復的隨機現象的觀察、記錄、實驗；

樣本空間：隨機現象的一切可能基本結果組成的集合；(Omega={omega})，(omega)：基本結果、又稱樣本點；

樣本空間的元素可以是數也可以不是數；
樣本空間至少有兩個樣本點，僅含有兩個樣本點的樣本空間是最簡單的樣本空間；
從樣本空間含有樣本點的個數來區分：

離散樣本空間：樣本點個數為有限個或可列個；
連續樣本空間：樣本點個數為不可列無限個。

隨機事件：隨機現象的某些樣本點組成的集合，簡稱事件；

任意事件是相應樣本空間的一個子集；（Venn圖）；

當子集中某個樣本點出現了，就說事件發生了；

事件可以用集合表示，也可以用明白無誤的語言描述；

基本事件	由樣本空間Ω中的單個元素組成的子集；
必然事件	樣本空間最大子集
不可能事件	樣本空間Ω最小子集，即空集

隨機變量：用來表示隨機現象的結果的變量，表示時應寫明隨機變量的含義；

事件間的關系

包含關系：事件A發生必然導致事件B發生；
相等關系；
互不相容：A、B沒有相同的樣本點。

事件間的運算：并、交、差、余。

$Acup B $：事件A、B中所有的樣本點組成的新事件，兩個事件中至少有一個發生；

(A cap B)：事件A、B中公共的樣本點組成的新事件；

(cup_{i=1}^n A_i，cap_{i=1}^infty A_i) 交并運算可以推廣至無限的情況；

(A setminus B)：由在A中而不在事件B中的樣本點組成的新事件；

[{X=a}={Xleq a}-{X<a}，{a<Aleq b}={Xleq b}-{Xleq a}
]

(overline{A}) :對立事件;

[ A setminus B= A cap B^c
]

事件的運算性質：

交換律：A (cap) B=B (cap) A
結合律：((Acup B)cup C=Acup(Bcup C))
分配律：((Acup B)cap C=ACcup BC)
De Morgen公式：(overline{cup_{i=1}^infty A_i}=cup_{i=1}^infty overline{A_i})

事件域

一個樣本空間中某些子集及其運算結果而組成的集合類，記為(F)，事件域要對集合的運算有封閉性，而：

交的運算可以通過并與對立實現；
差的運算可通過交與對立來實現；

這樣，并與對立是最基本的運算，于是事件域的定義如下：

設(Ω)為一樣本空間，(F)為(Ω)的某些子集所組成的集合類，如果(F)滿足：

(Ω∈F)；
若(A∈F)，則對立事件(overline{A}∈F)；
若(A_n∈F，n=1，2…..)，則可列并屬于(F)。

則稱(F)為一個事件域，又稱為(sigma)域 或(sigma)代數。

在概率論中，又稱((Omega ,F)) 為可測空間。

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§1.2 概率的定義及其確定方法

概率的公理化定義(Kolmogrov)

設(Omega)為一個樣本空間，(F)為(Omega)的某些子集組成的一個事件域，如果對任意事件(Ain F)，定義在(F)上的一個實值函數(P(A))滿足：

非負性定理 若(Ain F)，則(P(A)geq 0)，

正則性公理 (P(Omega)=1)，

可列可加性 (若A_1,A_2,cdots ,A_n,cdots互不相容，則：P(cup_{i=1}^infty A_i)=sum_{i=1}^infty (A_i))，

則稱(P(A))為事件A的概率,稱三元素((Omega,F,P))為概率空間

確定概率的頻率方法

在大量重復實驗中，用頻率的穩定值去獲得概率

與考察事件A有關的隨機現象可大量重復進行；

在n次重復實驗中，記(n(A))為事件A出現的次數，又稱(n(A))為事件A的頻數

[ f_n(A)=frac{n(A)}{n}
]

為事件A出現的頻率

隨著實驗重復次數n的增加，頻率(f_n(A))會穩定在某一常數a 附近，這個常數稱為頻率的穩定值。

確定概率的古典方法

所涉及到的隨機現象只是有限個樣本點；

每個樣本點發生的可能性相等；

若事件A含k個樣本點，則事件A的概率為

[P(a)=frac{事件A所含樣本點個數}{Omega中所有樣本點個數}=frac kn
]

在古典方法中，求事件A的概率歸結為計算A中含有的樣本點個數和(Omega)中含有的樣本點的總數。

抽樣模型
放回抽樣
盒子模型
生日問題

確定概率的幾何方法

確定概率的主觀方法

總結

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