前言

如果函數(f(x))為偶函數，則其必然滿足，(f(-x)=f(x))，且有(f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(|x-0|))；其實在涉及偶函數的考查中，用到最多見的變形是使用(f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(|x-0|))；

應用舉例

已知函數(y=f(x)=e^x+e^{-x})，求解不等式(f(x)>f(2-x))中(x)的取值范圍。

法1：[分類討論，很繁瑣的思路]

先判斷函數的定義域為(R)，且為偶函數；

又由于(x>0)時，(e^x>1)且(0<cfrac{1}{e^x}<1)，則(f'(x)=e^x-cfrac{1}{e^x}>0)，

則可知在((-infty，0])上單調遞減，在([0，+infty))上單調遞增。

若針對兩個自變量(x)和(2-x)分類討論，則得到以下四種情形：

Ⅰ.(left{egin{array}{l}{x>0}\{2-xge 0}\{x>2-x}end{array}ight.)或(quad)Ⅱ.(left{egin{array}{l}{x<0}\{2-xleq 0}\{x<2-x}end{array}ight.)

或Ⅲ.(left{egin{array}{l}{x>0}\{2-xleq 0}\{-x<2-x}end{array}ight.)或(quad)Ⅳ.(left{egin{array}{l}{x<0}\{2-xge 0}\{-x>2-x}end{array}ight.)

解Ⅰ得到，(1<xleq 2)；解Ⅱ得到，(xin varnothing)；

解Ⅲ得到，(xge 2)；解Ⅳ得到，(xin varnothing)；

求并集得到(x)的取值范圍為(x>1)，即(xin (1，+infty))。

法2：[利用偶函數的性質，簡潔明快]

先判斷函數的定義域為(R)，在((-infty，0])上單調遞減，在([0，+infty))上單調遞增，且為偶函數；

故由(f(x)>f(2-x))變形得到，(f(|x|)>f(|2-x|))對于偶函數而言，(f(x))(=)(f(-x))(=)(f(|x|))(=)(f(|x-0|))，故由(f(x))(>)(f(2-x))得到，即(f(|x|))(>)(f(|2-x|))，也即(f(|x-0|))(>)(f(|2-x-0|))， (quad)，

又由于(|x|)和(|2-x|)都位于區間([0,+infty))上，且已知函數(f(x))在([0,+infty))上單調遞增，

故得到(|x|>|2-x|)，則(x^2>(2-x)^2)，解得(x>1)。即(xin (1，+infty))。

總結推廣

若函數(f(x))為偶函數，對稱軸為直線(x=0)；其滿足(f(x)=f(-x)=f(|x|))；如果求解(f(x_1)>f(x_2))，往往首先轉化為(f(|x_1-0|)>f(|x_2-0|))，其中(|x_1-0|)和(|x_2-0|)的意義分別表示自變量(x_1)和(x_2)到對稱軸(x=0)的距離，然后利用單調性去掉符號法則(f)求解即可；

引申，函數(g(x))非偶函數，對稱軸為直線(x=2)；如果求解(g(x_1)>g(x_2))，則利用單調性可以得到(|x_1-2|)(>)(|x_2-2|)【或(|x_1-2|)(<)(|x_2-2|)】，其中(|x_1-2|)和(|x_2-2|)的意義分別表示自變量(x_1)和(x_2)到對稱軸(x=2)的距離，再兩邊平方求解即可；

二者統一

若函數(f(x))為偶函數，則有對稱軸為直線(x=0)，在([0,+infty))上單調遞增；如果求解(f(x_1)>f(x_2))，則得到(|x_1-0|>|x_2-0|)；

函數(g(x))非偶函數，對稱軸為直線(x=2)，在([2,+infty))上單調遞增；；如果求解(g(x_1)>g(x_2))，則得到(|x_1-2|)(>)(|x_2-2|)；

典例剖析

已知函數(f(x+2))是定義域為(R)的偶函數，(f(x))在((2, +infty))上單調遞減，則不等式(f(ln x)-f(1)<0)的解集是 【(quad)】

$A.(0,1)cup (3,+infty)$ $B.(1,3)$ $C.(0,e)cup (e^3,+infty)$ $D.(e,e^3)$

法1：利用示意圖圖像求解；

由于(f(x+2)) 的圖象關于(y) 軸對稱，故 (f(x)) 的圖象關于直線 (x=2) 對稱，

則有(f(1)=f(3))，由(f(ln x)-f(1)<0)得到，(f(ln x)<f(1))，

又由于(f(x)) 在 ((2,+infty)) 上單調遞減，可得 (f(x)) 在 ((-infty, 2)) 上單調遞增，

故得到即(ln x<1=ln e)或(ln x>3=ln e^3)，

解得 (0<x<e) 或 (x>e^{3})，故選：(C).

法2：類比偶函數的性質求解；

(f(x+2)) 的圖象關于 (y) 軸對稱，故(f(x))的圖象關于直線 (x=2) 對稱，

且(f(x))在在((-infty, 2))上單調遞增，((2,+infty))上單調遞減，

由(f(ln x)-f(1)<0)先變形為 (f(ln x)<f(1))，

則結合絕對值的定義，得到(|ln x-2|>|1-2|=1)故自變量的值(x)距離對稱軸(x=2)越遠，則函數值(f(x))越小；由(f(ln x))(<)(f(1))，則得到(|ln x-2|)(>)(|1-2|)

即(|ln x-2|>1)

所以(ln x-2>1) 或(ln x-2<-1)，即(ln x<1=ln e)或(ln x>3=ln e^3)，

解得 (0<x<e) 或 (x>e^{3})，故選：(C).

總結

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