公式

并集

$$left|igcup_{i=1}^nS_iight|=sum_i|S_i|-sum_{i<j}|S_icap S_j|+sum_{i<j<k}|S_icap S_jcap S_k|-cdots+(-1)^{n-1}|S_1cap cdotscap S_n|$$

證明

對于元素$x$，假設它屬于的集合為$T_1,T_2,ldots,T_m$，那么它對答案的貢獻為：

$$|{T_i}|-|{T_icap T_j|i<j}|+|{T_icap T_jcap T_k|i<j<k}|-cdots+(-1)^{m-1}|{T_1cap T_2cap cdotscap T_m}|\=inom{m}{1}-inom{m}{2}+cdots+(-1)^{m-1}inom{m}{m}=1$$

于是每個元素都只被計算了一次，總和即為并集的大小

交集

$$left|igcap_{i=1}^nS_iight|=|U|-left|igcup_{i=1}^noverline{S_i}ight|$$

其中$U$為全集，$overline{S}$為$S$對$U$的補集

計算時可對右邊補集的并進行容斥

證明

若$xinigcupoverline{S_i}$，則$exists i,x
otin S_i$，即$x$不存在與交集中，貢獻為0，反之貢獻為1

于是最后總和為交集的大小

例題

錯排問題

求出滿足以下條件的長度為$n$的排列$p$的個數：$forall i,p_i
eq i$

解法

考慮容斥：
設$S_i$表示滿足$p_i
eq i$的排列$p$的集合，那么題目要求的是$|igcap S_i|$

根據公式：

$$Ans=left|igcap_{i=1}^nS_iight|=|U|-left|igcup_{i=1}^noverline{S_i}ight|\=|U|-sum_i|overline{S_i}|+sum_{i<j}|overline{S_i}capoverline{S_j}|-cdots-(-1)^{n-1}|overline{S_1}cap cdotscapoverline{S_n}|$$

注意到：

$$forall a_1<a_2<cdots<a_m,left|igcap_{i=1}^moverline{S_{a_i}}ight|=(n-m)!$$

于是：

$$Ans=sum_{m=0}^n(-1)^msum_{a_i<a_2<cdots<a_m}left|igcap_{i=1}^moverline{S_{a_i}}ight|=sum_{i=0}^n(-1)^iinom{n}{i}(n-i)!=n!sum_{i=0}^nfrac{(-1)^i}{i!}$$

那么就可以愉快的$O(n)$求了

方格染色問題：

有一個n行m列的方格，初始均為白色，可以選擇一些格子染黑，問滿足每行每列至少有一個黑格子的方案數

解法

和上題思路差不多，先求出至少有$i$行$j$列沒有黑格子的方案數，為$2^{(n-i)(m-j)}$

根據容斥原理：

$$Ans=sum_{i=0}^nsum_{i=0}^m(-1)^{(i+j)}inom{n}{i}inom{m}{j}2^{(n-i)(m-j)}$$

效率$O(n^2)$

其它題目

[HAOI2008]硬幣購物

[THUPC2019]過河卒二

[FJOI2017]矩陣填數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的容斥原理学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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