差錯控制

傳輸中的差錯由噪聲引起。一類稱為熱噪聲，是信道所固有的、持續的，并且隨機的。另一類是外界環境造成的短暫的沖擊噪聲。熱噪聲可以通過提升信噪比降低干擾。而后者不可以通過提升信號幅度來避免干擾，帶來差錯。

通常采用編碼技術來進行差錯控制，主要有兩類：自動重傳請求（ARQ）和前向控制（FEC）。在ARQ方式中，接收端只進檢錯，而不進行糾錯。而在FEC方式中，不僅進行檢錯，還可以檢測出二進制數碼錯誤位置，并加以糾正。常見的檢錯編碼有奇偶校驗碼和循環冗余校驗碼。海明碼是常用的糾錯編碼。

奇偶校驗碼

包含奇校驗和偶校驗。由n-1位信息元和1位校驗元組成，屬于冗余編碼技術。如果是奇校驗，在添加一個校驗碼之后，碼長為n的碼字中1的個數為奇數個。在偶校驗中，添加1位校驗碼之后，碼字中1的個數為偶數個。

循環冗余校驗碼（CRC）

又稱多項式碼。將一個由二進制數位串組成的代碼和一個僅有0和1兩個系數的多項式建立一一對應關系。例如：1110011有7位，其對應的多項式為$X^6+X^5+X^4+X+1$，而多項式$X^5+X^4+X^2+X$對應的二進制碼串為110110.

CRC檢錯過程為：發送端發送一個m bit的幀，并生成一個r bit的序列，稱為幀檢驗序列。發送方和接受方事先約定一個多項式$G(x)$，使這個帶檢驗碼的幀正好被$G(x)$整除。從而進行檢驗。

幀檢驗序列的計算過程為：假設一幀有m位，其對應的多項式為$M(x)$。

加0操作。假設約定好的多項式$G(x)$的階為$r$，在待發送的m幀后面加上$r$個0.

模2除法操作。利用模2除法，用$G(x)$去除（1）中得到的數據串，得到的余數即為幀檢驗序列，共$r$位，前面的0不可省略。（PS：模2運算加減法滿足異或操作，乘除法類似二進制運算）

幀檢驗序列（冗余碼）的計算舉例：設$G(x)=1101$(即$r=3$)，待傳送數據$M=101001$（即$m=6$），經模2除法運算后的結果是：商$Q=110101$（沒有實際用途），余數為$R=001$。所以發送出去的數據為101001001.

海明碼

海明碼可以發現雙比特錯誤，但只能糾正單比特錯誤。海明碼將碼字內的位從左至右依次編號，編號為2的冪的位為校驗位，其余位填入要傳輸的m位數據。將編號為k的數據位改寫成2的冪的和，例如11=1+2+8，29=1+4+8+16。編號為k的數據僅由擴展式中所示編號的位檢測。

m個信息位插入$r$個校驗位組成m+r位碼字，他們必須滿足的關系是$2^r\ge m+r+1$.以典型的4位數據編碼為例，海明碼加入3個校驗位。
數據位：1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位
代碼：$P_1{P}_2{D}_1{P}_3{D}_2{D}_3{D}_4$
其中$P$為校驗位，$D$為數據位。

以數據碼1101為例。此時$D_1=1,D_2=1,D_3=0,D_4=1$。對于7位碼字的編號為（4位數據，3位檢驗）：1位=1，2位=2，3位=1+2，4位=4，5位=1+4，6位=2+4，7位=1+2+4。因此，$P_1$所檢驗的位數為1,3,5,7（碼字編號中對應數字1的）。另$P_1\oplus D_1\oplus D_2\oplus D_4=0$，求得$P_1=1$；$P_2$所檢驗的數據位為2,3,6,7（碼字編號中對應數字2的）。令$P_2\oplus D_1\oplus D_3\oplus D_4=0$，得$P_2=0$；$P_3$檢驗的數據位為4,5,6,7（碼字編號中對應數字4的）。令$P_3\oplus D_4\oplus D_5\oplus D_6\oplus D_7=0$，得$P_3=0$.因此海明碼的編碼結果為：1010101.（PS：$\oplus$表示異或運算）

糾錯過程：接受方接受到的正確碼字應為1010101。當受到干擾接收到的碼字為1010111。$D_1$位由0變為1。檢測時，$P_1\oplus D_1\oplus D_2\oplus D_4=0$，第一位糾錯碼正確。$P_2\oplus D_1\oplus D_3\oplus D_4=1$，第二位糾錯碼為1，有錯誤。$P_3\oplus D_4\oplus D_5\oplus D_6\oplus D_7=1$，第三位糾錯碼為1，有錯誤。三個糾錯碼從高到低排列為110，對應的十進制為6，即為第六位數據發生錯誤，也就是$D_1$位，取反即可。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据链路层差错控制——奇偶校验码、循环冗余码和汉明码（海明码）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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