學習筆記，這個筆記以例子為主。
開發工具：Spyder

---

文章目錄

• • 快速傅里葉變換模塊(fft)
  • • 傅里葉變換相關函數
    • 案例

---

快速傅里葉變換模塊(fft)

傅里葉變換在處理信號時效果較好，比如音頻，心電波。

什么是傅里葉變換？

法國科學家傅里葉提出，任何一條周期曲線，無論多么跳躍或不規則，都能表示成一組光滑正弦曲線疊加之和。
傅里葉變換既是基于傅里葉定理，對一條不規則的曲線進行拆解，從而得到一組光滑正弦曲線函數的過程。

傅里葉變換的目的是可將時域（即時間域）上的信號轉變為頻域（即頻率域）上的信號，隨著域的不同，對同一個事物的了解角度也就隨之改變，因此在時域中某些不好處理的地方，在頻域就可以較為簡單的處理。這就可以大量減少處理信號存儲量。比如：在存儲數據時用頻域的思想存儲音頻，則會大大節省空間，因為只需要存儲一組正弦函數的參數。

• 時域圖和頻域圖

頻域圖中能量越低，正弦函數的振幅越小；頻率越高，正弦函數的最短周期經歷時間越短。

假如有一時間域函數:y = f(x),根據傅里葉的理論它可以被分解為一系列正弦函數的疊加，這些正弦函數的振幅A，頻率ω和初項?各不相同，比如：

$$y=A_{1}sin({\omega }_{1}x+{?}_1)+A_{2}sin({\omega }_{2}x+{?}_2)+A_{3}sin({\omega }_{3}x+{?}_3)+R$$

所以，傅里葉變換可以把一個比較復雜的函數轉換為多個簡單函數的疊加，看問題的角度也從時間域轉到了頻率域，有的問題處理起來就會比較簡單。

傅里葉變換相關函數

導入快速傅里葉變換所需模塊：

import numpy.fft as nf

通過采樣數與采樣周期求得傅里葉變換分解所得曲線的頻率序列，得到頻率(ω)：

freqs = nf.fftfreq(采樣數量, 采樣周期)

采樣數量：總共這個波有多少個點。
采樣周期：每單位長度內采集點數的倒數，或者說是頻率的倒數，或者說兩個點之間采樣需要的長度。

原函數值的序列j經過快速傅里葉變換得到一個復數數組，每一個復數可以代表一個正弦函數，復數的模代表的是振幅(A)[也代表能量]，復數的輔角代表初項位(?)

若得到復數3 + 4i, 則有如下示意圖：

由上圖可知，點3 +4i到原點的距離為振幅(A)，它與x軸的夾角為初項位(φ)

nf.fft(原函數值序列) -> 目標函數值序列<復數>

我們也可以通過一個復數數組，經過逆向傅里葉變換得到合成的函數值數組:

nf.ifft(目標函數值序列<復數>)->原函數值序列

案例

針對合成波做快速傅里葉變換，得到一組復數序列；再針對該復數序列做逆向傅里葉變換得到新的合成波并繪制。

傅里葉拆分(差分成多個代表正弦函數的復數)：

import numpy as np import numpy.fft as nfx = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000) y = np.zeros(1000) n = 20 for i in range(1, n):y_temp = 4 / ((2 * i - 1) * np.pi) \* np.sin((2 * i - 1) * x)y += y_temp#拆分 complex_array = nf.fft(y) print(complex_array)

部分結果(因為拆分成的正弦函數太多了)：

[ -6.27831120e-14 +0.00000000e+00j 3.10986537e-03 -9.89897635e-01j3.99983691e+00 -6.36585439e+02j -9.71019279e-03 +1.03025295e+00j-4.68395606e-04 +3.72717759e-02j 1.49132852e-02 -9.49331137e-01j... ...

傅里葉合并：

#合并 y_merge = nf.ifft(complex_array)

繪圖，觀察原序列與傅里葉拆分并合成之后的序列是否一致:

#繪圖 mp.plot(x, y, color = 'b', linestyle = '--',label = 'Original')mp.plot(x, y_merge, color = 'r', linestyle = '-.',label = 'ifft')mp.legend() mp.show()

圖像：

由結果可知，原序列與傅里葉拆分并合成之后的序列一致。

由上面的代碼可知，我們的采樣數量1000， 采樣周期為1/250π，為我們再繪制頻域圖：

import numpy as np import numpy.fft as nf import matplotlib.pyplot as mpx = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000) y = np.zeros(1000) n = 20 for i in range(1, n):y_temp = 4 / ((2 * i - 1) * np.pi) \* np.sin((2 * i - 1) * x)y += y_temp#拆分 complex_array = nf.fft(y) #合并 y_merge = nf.ifft(complex_array)#頻率 freqs = nf.fftfreq(y.size, x[1]-x[0]) #每個正弦波的能量 pows = np.abs(complex_array)#繪圖mp.subplot(1, 2, 1) mp.plot(x, y_merge, color = 'r', linestyle = '-.')mp.subplot(1, 2, 2) mp.plot(freqs[freqs > 0], pows[freqs > 0], color = 'b', linestyle = '--')mp.show()

圖像：

由上圖可知，組成方波的正弦函數中，頻率越低能量越大，頻率越高能量越低。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的numpy基础(part12)--快速傅里叶变换模块的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。