學習筆記

參考書籍：《計量經濟學》

PS:本系列停更1天(0408恢復更新)，想先更新隔壁的Xpath和離群點檢測

---

趨勢平穩與差分平穩

趨勢平穩與差分平穩隨機過程

• 虛假回歸

一些非平穩的經濟時間序列往往表現出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯關系，這時對這些數據進行回歸，盡管有較高的$R^2$，但其結果是沒有任何實際意義的，這種現象我們稱之為虛假回歸。

為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間$t$，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的而不是隨機性的，才會是有效的。換言之，一個包含有某種確定性趨勢的非平穩時間序列，可以通過引入趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。

• 隨機性趨勢與確定性趨勢

考慮如下的含有1階自回歸的隨機過程：
$$X_t=\alpha +\beta t+\rho X_{t?1}+{\mu }_t\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中${\mu }_t$為白噪聲，$t$為一個時間趨勢。

如果$\rho =1,\beta =0$,則(1)式為一個帶位移的隨機游走過程。根據$\alpha$的正負，$X_t$表現出明顯的上升或下降趨勢，這種趨勢稱為隨機性趨勢。

如果$\rho =0,\beta =0$,則(1)式為一個帶時間趨勢的隨機變化過程，根據$\beta$的正負，$X_t$表現出明顯的上升或下降趨勢，這種趨勢稱為確定性趨勢。

如果$\rho =1,\beta =0$,則$X_t$包含確定性與隨機性兩種趨勢。

判斷一個非平穩的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型：
$$\Delta X_t=\alpha +\beta t+\delta X_{t?1}+\sum _{i=1}^m{\beta }_i\Delta X_{t?i}+{?}_t\text{\hspace{1em}(2)}$$
如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量$t$前的參數顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢。如果沒有單位根，且時間變量$t$前的參數顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。

• 差分平穩過程與趨勢平穩過程

隨機性趨勢可通過差分的方法消除，比如一個帶位移的隨機游走過程，就可以通過差分的方法使其平穩：
$$X_t=\alpha +X_{t?1}+{\mu }_t?\Delta X_t=\alpha +{\mu }_t\text{\hspace{1em}(3)}$$
該時間序列$X_t$稱為差分平穩過程。

然而確定性趨勢無法通過差分的方法消除，只能通過除去趨勢項消除，如比如一個帶時間趨勢的隨機變化過程，可以通過去除時間變量$t$，使其平穩：
$$X_t=\alpha +\beta t+{\mu }_t?X_t?\beta t=\alpha +{\mu }_t\text{\hspace{1em}(4)}$$
該時間序列$X_t$稱為趨勢平穩過程。趨勢平穩過程代表了一個時間序列長期穩定的變化過程，因而用于進行長期預測更為可靠。

R語言實現

下面將模擬2個時間序列，通過ADF檢驗，判斷序列具有哪種趨勢(隨機性or確定性)

模擬序列(隨機游走)：

#模擬隨機游走 set.seed(1238) n <- 1000 y <- vector(length = n) y[1] = 0 for (i in 2:n){y[i] = y[i-1] + rnorm(1, 0, 1/n) }#利用ADF檢驗中的模型3，獲取時間變量tt的顯著性檢驗結果 x <- y k <- 1 x <- as.vector(x, mode = "double") x_1 <- diff(x) n <- length(x_1) z <- embed(x_1, k) yt <- z[, 1] xt1 <- x[k:n] tt <- k:n res <- lm(yt ~ xt1 + 1 + tt) summary(res)$coefficients#ADF檢驗結果 adf.test(y)$p.value

控制臺輸出結果：

> summary(res)$coefficientsEstimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -3.512132e-05 6.686299e-05 -0.5252729 0.59951037 xt1 -4.570506e-03 3.345454e-03 -1.3661843 0.17218951 tt 2.859225e-07 1.665257e-07 1.7169867 0.08629248> adf.test(y)$p.value [1] 0.8823519

由結果可知，時間變量tt的回歸系數，在大于0.05的顯著性水平，不能拒絕回歸系數為0的假設，說明沒有確定性趨勢，而ADF單位根檢驗結果說明了，該序列存在單位根，則存在隨機性趨勢。

模擬序列:

n <- 100 x <- c(1:n) z <- rnorm(n, 0, 1/n) y <- 2*x + 3 + z#利用ADF檢驗中的模型3，獲取時間變量tt的顯著性檢驗結果 x <- y k <- 1 x <- as.vector(x, mode = "double") x_1 <- diff(x) n <- length(x_1) z <- embed(x_1, k) yt <- z[, 1] xt1 <- x[k:n] tt <- k:n res <- lm(yt ~ xt1 + 1 + tt) summary(res)$coefficients#ADF檢驗結果 adf.test(y)$p.value

控制臺輸出結果：

> summary(res)$coefficientsEstimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 4.7066541 0.3032464 15.520891 6.454279e-28 xt1 -0.9024946 0.1010956 -8.927142 2.998167e-14 tt 1.8050169 0.2021935 8.927177 2.997647e-14> adf.test(y)$p.value [1] 0.01

由結果可知，時間變量tt的回歸系數，在小于0.05的顯著性水平，拒絕回歸系數為0的假設，說明存在確定性趨勢，而ADF單位根檢驗結果說明了，該序列不存在單位根，則沒有隨機性趨勢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列与R语言应用(part3)--趋势平稳与差分平稳的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。