走近分形与混沌(part7)--三体与混沌
學(xué)習(xí)筆記
學(xué)習(xí)書目：《蝴蝶效應(yīng)之謎：走近分形與混沌 》-張?zhí)烊?#xff1b;
文章目錄
- N體問題
- 龐加萊與三體問題
N體問題
我們?cè)诟咧械奈锢碚n上都學(xué)過著名的開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律。在開普勒總結(jié)出三大定律之后，牛頓在開普勒定律的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了經(jīng)典力學(xué)著名的牛頓三大定律。 再后來，開普勒走了，牛頓走了，拉普拉斯也走了。幾位大師創(chuàng)立了天體力學(xué)，但也留下了有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的種種問題和困難。其中有一個(gè)，就是關(guān)于太陽系穩(wěn)定性的問題。
太陽系的穩(wěn)定性問題早就被牛頓提出。經(jīng)常有人設(shè)想出一些無法挽救的、災(zāi)難性的后果。比如說：擔(dān)心月亮某一天是否會(huì)朝地球猛撞過來。 拉普拉斯深入研究過這個(gè)問題并得出結(jié)論，認(rèn)為太陽系作為整體來說是一個(gè)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。然而，拉普拉斯的結(jié)論并沒有消除人們心中的疑慮。
100多年前的物理學(xué)家喜歡計(jì)算遵循牛頓萬有引力定律而互相吸引的多個(gè)天體將如何運(yùn)動(dòng)。物理學(xué)家們將此類問題稱為N體問題。
N體問題的答案，實(shí)際上就是欲從數(shù)學(xué)上來探索太陽系的穩(wěn)定性。當(dāng)N＝1時(shí)，答案是顯而易見的，不受其他任何作用的1個(gè)物體，最后將歸于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于N＝2的情況，也就是二體問題，在牛頓時(shí)代就已被基本解決。在解決二體問題上牛頓力學(xué)打了大勝仗，但對(duì)三體問題的解決卻是困難重重，多于三體時(shí)的解答，就更是望塵莫及了。
龐加萊與三體問題
昂利·龐加萊被公認(rèn)是19世紀(jì)末和20世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家。龐加萊為解決三體問題而發(fā)展了數(shù)學(xué)，這其中蘊(yùn)涵著龐加萊最重要的創(chuàng)新：把握定性和整體的拓?fù)渌枷搿?/p>
根據(jù)牛頓的萬有引力定律，我們不難列出三體問題的運(yùn)動(dòng)方程，它是含有9個(gè)方程的微分方程組 。但是，求解這個(gè)方程則是難上加難，并不存在一般條件下的精確解。為了解決這個(gè)問題，龐加萊首先采取了希爾的辦法，即，將此問題簡(jiǎn)化成了所謂限制性三體問題。
限制性三體問題是三體問題的特殊情況。當(dāng)所討論的三個(gè)天體中﹐有一個(gè)天體的質(zhì)量與其他兩個(gè)天體的質(zhì)量相比﹐小到可以忽略時(shí)﹐這樣的三體問題稱為限制性三體問題。也就是說，我們將小天體對(duì)大天體的作用忽略不計(jì)，只考慮大天體對(duì)小天體的吸引力。如此一簡(jiǎn)化，原來的9個(gè)微分方程組變成了只有3個(gè)變量的微分方程組 。
但是，即使簡(jiǎn)化成了3個(gè)微分方程，只有3個(gè)變量，也仍然無法求出精確解。龐加萊意識(shí)到，既然無法求出精確解，就放棄尋找精確解。于是，龐加萊開始定性地研究解的性質(zhì)。也就是說，從3個(gè)微分方程出發(fā)，用幾何的方法，從整體上設(shè)法了解可能存在的各種天體軌道的性質(zhì)和形態(tài)。
因?yàn)?#xff0c;小塵埃(小天體)對(duì)兩個(gè)大天體的作用小到可以忽略，所以可以先解決兩個(gè)大天體的二體問題，再考慮小塵埃的運(yùn)動(dòng)。龐加萊需要定性描述的只是小塵埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的運(yùn)動(dòng)軌跡
龐加萊深入研究小塵埃在所謂同宿軌道和異宿軌道（相當(dāng)于奇點(diǎn)）附近的行為，但一直沒有得到令他滿意的結(jié)果。他在自己的頭腦里構(gòu)造出了限制性三體問題的某些奇特解的雛形。從解的奇怪行為中，龐加萊看到了當(dāng)今人們所說的混沌現(xiàn)象。不過，受到當(dāng)時(shí)的經(jīng)典世界觀的局限龐加萊還未能完全理解得到的結(jié)果，他只能迷惑而感嘆地說了一句：無法畫出來的圖形的復(fù)雜性令我震驚!
龐加萊發(fā)現(xiàn)，即使對(duì)簡(jiǎn)化了的限制性三體問題，在同宿軌道或者異宿軌道附近，解的形態(tài)會(huì)非常復(fù)雜，以至于對(duì)于給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，這個(gè)軌道的最終命運(yùn)。而這種對(duì)于軌道的長(zhǎng)時(shí)間行為的不確定性，這也就是我們現(xiàn)在稱之為混沌的現(xiàn)象。
總結(jié)
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