學習筆記
學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌 》-張天蓉；

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隨機過程與混沌

我們所說的混沌現象的確并不完全等同于隨機，但是和隨機過程有關系，它是隨機過程和決定規律的結合。洛倫茨方程產生的混沌，顯然不同于三體問題產生的混沌，它們有不同形態的奇異吸引子，分別作為它們各自的標簽！這些奇異吸引子對應于不同的分形，分形有決定的一面，也有其隨機的一面。

在這里，我們玩一個混沌游戲，使分形從隨機過程中產生。

總結我們迄今為止所介紹過的分形，大概有如下三類：

1．科赫曲線、謝爾賓斯基三角形、分形龍等，可以從線性迭代過程產生；

2．曼德勃羅集、朱利亞集，從非線性復數迭代過程產生；

3．奇異吸引子，由洛倫茨方程或三體運動方程等非線性微分方程組產生。

我們都知道，謝爾賓斯基三角形可以用兩種不同的方法產生。第一種方法就是如下圖所示那樣，將第一個涂黑的三角形挖掉它中心的三角形，成為第二個圖，然后再繼續挖下去…

第二種方法就是，從下圖最左邊的一個曲線開始迭代，迭代無限次之后，最后也得到謝爾賓斯基三角形。

現在我們通過混沌游戲，即隨機過程的方式，得到謝爾賓斯基三角形：

在左上角的初始圖形上，畫上紅、綠、藍三個頂點，并隨意選擇起始點$Z_0$，再準備一個能隨機產生紅、綠、藍之一的隨機發生器。從$Z_0$開始，利用隨機選出的顏色點(這時是綠色)，取$Z_0$到綠點的中點，作為下一個點$Z_1$，然后，又利用再次隨機選出的顏色點(這時是藍色)，取$Z_1$到藍點的中點，作為$Z_2$，以此往復地做下去，得到$Z_3,Z_4,Z_5...$當我們得到的點足夠多時，就構成了謝爾賓斯基三角形：

通過隨機過程產生謝爾賓斯基三角形的過程，我們發現：看起來混沌，本質上卻和迭代的效果是一樣的。

那么除了謝爾賓斯基三角形，一般分形是否可以由混沌游戲產生？

產生分形所用的迭代方法，可以抽象成一組收縮變換函數，數學家們將此稱為迭代函數系統(IFS)。任何分形，只要找到了對應的IFS，就能用迭代法(或者是混沌游戲的方法)產生出來，非線性的情況也一樣。比如下面公式即為謝爾賓斯基三角形的IFS:
$$\begin{gathered} f_1(z)=z/2 \\ {f}_2(z)=z/2+1/2 \\ {f}_3(z)=z/2+(\sqrt{3}+1)/2 \end{gathered}$$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part12)--随机过程与混沌的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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