學(xué)習(xí)筆記

學(xué)習(xí)書目：《復(fù)雜》- 梅拉妮·米歇爾

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文章目錄

• • • 混沌
    • 邏輯斯蒂映射
    • 混沌的共性
    • 混沌思想帶來(lái)的革命

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混沌

再一次一無(wú)所知，從頭開始，這讓我很開心。——斯托帕德

混沌指的是一些系統(tǒng)(混沌系統(tǒng))對(duì)于其初始位置和動(dòng)量的測(cè)量如果有極其微小的不精確，也會(huì)導(dǎo)致對(duì)其的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)產(chǎn)生巨大的誤差。也就是常說(shuō)的對(duì)初始條件的敏感依賴性

第一個(gè)明確的混沌系統(tǒng)的例子可能是19世紀(jì)末由法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊給出。龐加萊是現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論的奠基者，它大力推動(dòng)了牛頓力學(xué)的發(fā)展。龐加萊在試圖解決一個(gè)比預(yù)測(cè)颶風(fēng)簡(jiǎn)單得多的問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了對(duì)初始條件的敏感依賴性，這個(gè)問(wèn)題就是：三體問(wèn)題。

他并沒(méi)有完全解決這個(gè)這個(gè)問(wèn)題，但是他的嘗試很精彩。牛頓發(fā)明了微積分，而龐加萊為了解決這個(gè)問(wèn)題也創(chuàng)建了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支—代數(shù)拓?fù)?。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的擴(kuò)展，正是在研究三體問(wèn)題的幾何結(jié)果的過(guò)程中，龐加萊發(fā)現(xiàn)了對(duì)初始條件的敏感依賴性。下面是他對(duì)此的總結(jié)：

如果我們能知道自然界的定律和宇宙在初始時(shí)刻的精確位置，我們就能精確預(yù)測(cè)宇宙在此后的情況。但是即便我們弄清了自然界的定律，我們也還是只能近似地知道初始狀態(tài)。如果我們能同樣近似地預(yù)測(cè)以后的狀態(tài)，這也夠了，我們也就能說(shuō)現(xiàn)象是可以預(yù)測(cè)的，而且受到定律的約束。但并不總是這樣，初始條件的細(xì)微差別有可能會(huì)導(dǎo)致最終現(xiàn)象的極大不同。前者的微小誤差會(huì)導(dǎo)致后者的巨大誤差。預(yù)測(cè)變得不可能……

換句話說(shuō)，即便我們完全知道了運(yùn)動(dòng)定律，兩組不同的初始條件（在這里是物體的初始位置、質(zhì)量和速度），即使差別很小(比如：0.00000127)，有時(shí)候也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)隨后的運(yùn)動(dòng)極為不同。

邏輯斯蒂映射

混沌系統(tǒng)中初始的不確定性到底是如何被急劇放大的呢？關(guān)鍵因素是非線性。

對(duì)于線性系統(tǒng)，你可以先了解其組成，然后將它們合在一起；但對(duì)于非線性系統(tǒng)，整體則不等于部分之和。還原論者喜歡線性，而非線性則是還原論者的噩夢(mèng)。

假設(shè)我們養(yǎng)了一堆兔子，兔子會(huì)配對(duì)生小兔子，每對(duì)兔子父母每年會(huì)生4只小兔子然后死去。很顯然，如果不受限制，兔子的數(shù)量會(huì)每年翻番。這是一個(gè)線性系統(tǒng)，整體等于部分之和。

但是如果考慮到種群數(shù)量增長(zhǎng)所受的限制，情況會(huì)怎樣呢？這會(huì)使得增長(zhǎng)規(guī)則變?yōu)榉蔷€性的。假定前面的規(guī)則仍然成立，每對(duì)兔子每年生4只小兔子然后死去。不過(guò)現(xiàn)在有些小兔子會(huì)因?yàn)樘^(guò)擁擠沒(méi)有繁殖就死去。

研究種群數(shù)量的生物學(xué)家常用邏輯斯蒂模型描述這種情形下群體數(shù)量的增長(zhǎng),這個(gè)模型以一種簡(jiǎn)化方式描述群體數(shù)量的增長(zhǎng)。你設(shè)定好出生率、死亡率（由于種群數(shù)量過(guò)多導(dǎo)致的死亡概率）以及最大種群承載能力（棲息地所能承載的種群數(shù)量上限），然后將這一代的種群數(shù)量代入邏輯斯蒂模型，就能算出下一代的種群數(shù)量:
$$x_{n+1}=R{x}_n?R(x_n{)}^2=R{x}_n(1?x_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中的小$x$表示相對(duì)人口數(shù)，比如$x_n=X_n/N$ .邏輯斯蒂映射中出生率和死亡率的效應(yīng)被合成一個(gè)數(shù)，記作$R$ .

邏輯斯蒂映射是能抓住混沌本質(zhì)(對(duì)初始條件的敏感依賴性)的最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)之一

我們來(lái)看看$R=2,x_0=0.2$時(shí)，邏輯斯蒂映射的變化：

來(lái)看看$R=2,x_0=0.99$時(shí)，邏輯斯蒂映射的變化：

雖然最后結(jié)果是一樣的，不過(guò)$x_0=0.99$時(shí)，到達(dá)0.5的過(guò)程要長(zhǎng)一點(diǎn)，波動(dòng)也更劇烈。

我們可能已經(jīng)推斷出了，只要$R=2$，$x_t$最終都會(huì)到達(dá)0.5，并停在那，這個(gè)0.5正是所謂的不動(dòng)點(diǎn) 。到達(dá)這一點(diǎn)所花的時(shí)間依賴于出發(fā)點(diǎn)，但是一旦你到達(dá)了那里，你就會(huì)保持不動(dòng)。

來(lái)看看$R=3.1,x_0=0.2$時(shí)的情形：

我們看到，$x_t$永遠(yuǎn)也不會(huì)停在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；它最終會(huì)在兩個(gè)值（0.5580141和0.7645665）之間振蕩。如果將前者代入方程，就會(huì)得到后者，反過(guò)來(lái)也是一樣，因此振蕩會(huì)一直持續(xù)下去。不管$x_0$取什么值，最后都會(huì)形成這個(gè)振蕩。$R$一直增大，直到3.4，邏輯斯蒂映射都會(huì)有類似的變化：在迭代一些步后，系統(tǒng)會(huì)在兩個(gè)不同的值之間周期振蕩（最終的振蕩點(diǎn)由R決定）。因?yàn)槭窃趦蓚€(gè)值之間振蕩，系統(tǒng)的周期為2。

再來(lái)看看$R=3.49,x_0=0.2$時(shí)的情形：

我們看到，$x_t$同樣不會(huì)停在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它最終會(huì)在4個(gè)值之間振蕩。也就是說(shuō)，最終的震蕩周期變?yōu)榱?。這種情況大約在$3.4<R<3.5$，時(shí)會(huì)發(fā)生。

隨著$R$的增大，$x_t$并不是一直處于震蕩的狀態(tài)，當(dāng)$R\approx 3.569946$時(shí)，$x_t$會(huì)變成混沌狀態(tài)。當(dāng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)時(shí)，就算設(shè)定兩個(gè)非常接近的初始值$x_0$，它們生成的序列也不會(huì)收斂到同一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，或同一個(gè)周期震蕩，它們會(huì)逐漸發(fā)散開來(lái)。

現(xiàn)在，來(lái)看一看$R=4$時(shí)的情況，我們?cè)O(shè)置兩個(gè)初始值$x_0=0.2$和$x_0^{\prime }=0.2000000001$ :

這兩條軌道開始的時(shí)候很接近（以至于實(shí)線軌道把虛線軌道都蓋住了），但在大約30次迭代之后，它們明顯分開了，很快就不再具有相關(guān)性。這就是對(duì)初始條件的敏感依賴性的由來(lái)。

最后，我們從整體來(lái)看看邏輯斯蒂分叉圖：

我們知道，邏輯斯蒂映射極為簡(jiǎn)單，并且是完全確定的，然而得到的混沌軌道卻看上去非常隨機(jī)。事實(shí)上，邏輯斯蒂映射還被用來(lái)在計(jì)算機(jī)中生成偽隨機(jī)數(shù) ，因此，表面上的隨機(jī)可以來(lái)自非常簡(jiǎn)單的確定性系統(tǒng)。

從上面的研究我們可以看出，簡(jiǎn)單的確定性方程似乎可以產(chǎn)生類似于隨機(jī)嗓音的確定性軌道。這就意味著種群調(diào)查數(shù)據(jù)中那種明顯的不穩(wěn)定波動(dòng)不一定表明環(huán)境的變化莫測(cè)或是采樣有錯(cuò)誤：它們有可能是由完全確定性的種群數(shù)量變化關(guān)系所導(dǎo)致的……另外，還可以看到，在混沌中，不管初始條件有多接近，在足夠長(zhǎng)的時(shí)間之后，它們的軌道還是會(huì)相互分開。這意味著，即使我們的模型很簡(jiǎn)單，所有的參數(shù)也都完全確定，長(zhǎng)期預(yù)測(cè)也仍然是不可能。

這是其實(shí)一個(gè)非常負(fù)面的結(jié)論，系統(tǒng)存在混沌也就意味著，拉普拉斯式的完美預(yù)測(cè)不僅在實(shí)踐中無(wú)法做到，在原則上也是不可能的，因 為我們永遠(yuǎn)也無(wú)法知道$x_0$小數(shù)點(diǎn)后的無(wú)窮多位數(shù)值。它與量子力學(xué)一 起，摧毀了19世紀(jì)以來(lái)的樂(lè)觀心態(tài)，即認(rèn)為牛頓式宇宙就像鐘表一樣沿著可預(yù)測(cè)的路徑運(yùn)行。

混沌的共性

這一點(diǎn)，我就簡(jiǎn)單說(shuō)一下，因?yàn)橹耙粋€(gè)敘述混沌的Blog里，我已經(jīng)寫的比較清楚了。

混沌的共性大概有以下兩點(diǎn)：

• 倍周期分叉
• 費(fèi)根鮑姆常數(shù)

混沌思想帶來(lái)的革命

• 看似混沌的行為有可能來(lái)自確定性系統(tǒng)，無(wú)須外部的隨機(jī)源。
• 一些簡(jiǎn)單的確定性系統(tǒng)的長(zhǎng)期變化，由于對(duì)初始條件的敏感依賴性，即使在原則上也無(wú)法預(yù)測(cè)。
• 雖然混沌系統(tǒng)的具體變化無(wú)法預(yù)測(cè)，在大量混沌系統(tǒng)的普適共性中卻有一些“混沌中的秩序”，例如通 往混沌的倍周期之路，以及費(fèi)根鮑姆常數(shù)。因此雖然在細(xì)節(jié)上“預(yù)測(cè)變得不可能”，在更高的層面上混 沌系統(tǒng)卻是可以預(yù)測(cè)的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《复杂》读书笔记(part2)--混沌与逻辑斯蒂映射的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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