《复杂》读书笔记(part2)--混沌与逻辑斯蒂映射
學(xué)習(xí)筆記
學(xué)習(xí)書目:《復(fù)雜》- 梅拉妮·米歇爾
文章目錄
- 混沌
- 邏輯斯蒂映射
- 混沌的共性
- 混沌思想帶來(lái)的革命
混沌
再一次一無(wú)所知,從頭開始,這讓我很開心。——斯托帕德
混沌指的是一些系統(tǒng)(混沌系統(tǒng))對(duì)于其初始位置和動(dòng)量的測(cè)量如果有極其微小的不精確,也會(huì)導(dǎo)致對(duì)其的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)產(chǎn)生巨大的誤差。也就是常說(shuō)的對(duì)初始條件的敏感依賴性
第一個(gè)明確的混沌系統(tǒng)的例子可能是19世紀(jì)末由法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊給出。龐加萊是現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論的奠基者,它大力推動(dòng)了牛頓力學(xué)的發(fā)展。龐加萊在試圖解決一個(gè)比預(yù)測(cè)颶風(fēng)簡(jiǎn)單得多的問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了對(duì)初始條件的敏感依賴性,這個(gè)問(wèn)題就是:三體問(wèn)題。
他并沒(méi)有完全解決這個(gè)這個(gè)問(wèn)題,但是他的嘗試很精彩。牛頓發(fā)明了微積分,而龐加萊為了解決這個(gè)問(wèn)題也創(chuàng)建了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支—代數(shù)拓?fù)?。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的擴(kuò)展,正是在研究三體問(wèn)題的幾何結(jié)果的過(guò)程中,龐加萊發(fā)現(xiàn)了對(duì)初始條件的敏感依賴性。下面是他對(duì)此的總結(jié):
如果我們能知道自然界的定律和宇宙在初始時(shí)刻的精確位置,我們就能精確預(yù)測(cè)宇宙在此后的情況。但是即便我們弄清了自然界的定律,我們也還是只能近似地知道初始狀態(tài)。如果我們能同樣近似地預(yù)測(cè)以后的狀態(tài),這也夠了,我們也就能說(shuō)現(xiàn)象是可以預(yù)測(cè)的,而且受到定律的約束。但并不總是這樣,初始條件的細(xì)微差別有可能會(huì)導(dǎo)致最終現(xiàn)象的極大不同。前者的微小誤差會(huì)導(dǎo)致后者的巨大誤差。預(yù)測(cè)變得不可能……
換句話說(shuō),即便我們完全知道了運(yùn)動(dòng)定律,兩組不同的初始條件(在這里是物體的初始位置、質(zhì)量和速度),即使差別很小(比如:0.00000127),有時(shí)候也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)隨后的運(yùn)動(dòng)極為不同。
邏輯斯蒂映射
混沌系統(tǒng)中初始的不確定性到底是如何被急劇放大的呢?關(guān)鍵因素是非線性。
對(duì)于線性系統(tǒng),你可以先了解其組成,然后將它們合在一起;但對(duì)于非線性系統(tǒng),整體則不等于部分之和。還原論者喜歡線性,而非線性則是還原論者的噩夢(mèng)。
假設(shè)我們養(yǎng)了一堆兔子,兔子會(huì)配對(duì)生小兔子,每對(duì)兔子父母每年會(huì)生4只小兔子然后死去。很顯然,如果不受限制,兔子的數(shù)量會(huì)每年翻番。這是一個(gè)線性系統(tǒng),整體等于部分之和。
但是如果考慮到種群數(shù)量增長(zhǎng)所受的限制,情況會(huì)怎樣呢?這會(huì)使得增長(zhǎng)規(guī)則變?yōu)榉蔷€性的。假定前面的規(guī)則仍然成立,每對(duì)兔子每年生4只小兔子然后死去。不過(guò)現(xiàn)在有些小兔子會(huì)因?yàn)樘^(guò)擁擠沒(méi)有繁殖就死去。
研究種群數(shù)量的生物學(xué)家常用邏輯斯蒂模型描述這種情形下群體數(shù)量的增長(zhǎng),這個(gè)模型以一種簡(jiǎn)化方式描述群體數(shù)量的增長(zhǎng)。你設(shè)定好出生率、死亡率(由于種群數(shù)量過(guò)多導(dǎo)致的死亡概率)以及最大種群承載能力(棲息地所能承載的種群數(shù)量上限),然后將這一代的種群數(shù)量代入邏輯斯蒂模型,就能算出下一代的種群數(shù)量:
xn+1=Rxn?R(xn)2=Rxn(1?xn)(1)x_{n+1}=Rx_n-R(x_n)^2=Rx_n (1-x_n) \tag{1} xn+1?=Rxn??R(xn?)2=Rxn?(1?xn?)(1)
式中的小xxx表示相對(duì)人口數(shù),比如xn=Xn/Nx_n=X_n/Nxn?=Xn?/N .邏輯斯蒂映射中出生率和死亡率的效應(yīng)被合成一個(gè)數(shù),記作RRR .
邏輯斯蒂映射是能抓住混沌本質(zhì)(對(duì)初始條件的敏感依賴性)的最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)之一
我們來(lái)看看R=2,x0=0.2R=2, x_0=0.2R=2,x0?=0.2時(shí),邏輯斯蒂映射的變化:
來(lái)看看R=2,x0=0.99R=2, x_0=0.99R=2,x0?=0.99時(shí),邏輯斯蒂映射的變化:
雖然最后結(jié)果是一樣的,不過(guò)x0=0.99x_0=0.99x0?=0.99時(shí),到達(dá)0.5的過(guò)程要長(zhǎng)一點(diǎn),波動(dòng)也更劇烈。
我們可能已經(jīng)推斷出了,只要R=2R=2R=2,xtx_txt?最終都會(huì)到達(dá)0.5,并停在那,這個(gè)0.5正是所謂的不動(dòng)點(diǎn) 。到達(dá)這一點(diǎn)所花的時(shí)間依賴于出發(fā)點(diǎn),但是一旦你到達(dá)了那里,你就會(huì)保持不動(dòng)。
來(lái)看看R=3.1,x0=0.2R=3.1, x_0=0.2R=3.1,x0?=0.2時(shí)的情形:
我們看到,xtx_txt?永遠(yuǎn)也不會(huì)停在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn);它最終會(huì)在兩個(gè)值(0.5580141和0.7645665)之間振蕩。如果將前者代入方程,就會(huì)得到后者,反過(guò)來(lái)也是一樣,因此振蕩會(huì)一直持續(xù)下去。不管x0x_0x0?取什么值,最后都會(huì)形成這個(gè)振蕩。RRR一直增大,直到3.4,邏輯斯蒂映射都會(huì)有類似的變化:在迭代一些步后,系統(tǒng)會(huì)在兩個(gè)不同的值之間周期振蕩(最終的振蕩點(diǎn)由R決定)。因?yàn)槭窃趦蓚€(gè)值之間振蕩,系統(tǒng)的周期為2。
再來(lái)看看R=3.49,x0=0.2R=3.49, x_0=0.2R=3.49,x0?=0.2時(shí)的情形:
我們看到,xtx_txt?同樣不會(huì)停在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),它最終會(huì)在4個(gè)值之間振蕩。也就是說(shuō),最終的震蕩周期變?yōu)榱?。這種情況大約在3.4<R<3.53.4<R<3.53.4<R<3.5,時(shí)會(huì)發(fā)生。
隨著RRR的增大,xtx_txt?并不是一直處于震蕩的狀態(tài),當(dāng)R≈3.569946R\approx3.569946R≈3.569946時(shí),xtx_txt?會(huì)變成混沌狀態(tài)。當(dāng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)時(shí),就算設(shè)定兩個(gè)非常接近的初始值x0x_0x0?,它們生成的序列也不會(huì)收斂到同一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),或同一個(gè)周期震蕩,它們會(huì)逐漸發(fā)散開來(lái)。
現(xiàn)在,來(lái)看一看R=4R=4R=4時(shí)的情況,我們?cè)O(shè)置兩個(gè)初始值x0=0.2x_0=0.2x0?=0.2和x0′=0.2000000001x_0'=0.2000000001x0′?=0.2000000001 :
這兩條軌道開始的時(shí)候很接近(以至于實(shí)線軌道把虛線軌道都蓋住了),但在大約30次迭代之后,它們明顯分開了,很快就不再具有相關(guān)性。這就是對(duì)初始條件的敏感依賴性的由來(lái)。
最后,我們從整體來(lái)看看邏輯斯蒂分叉圖:
我們知道,邏輯斯蒂映射極為簡(jiǎn)單,并且是完全確定的,然而得到的混沌軌道卻看上去非常隨機(jī)。事實(shí)上,邏輯斯蒂映射還被用來(lái)在計(jì)算機(jī)中生成偽隨機(jī)數(shù) ,因此,表面上的隨機(jī)可以來(lái)自非常簡(jiǎn)單的確定性系統(tǒng)。
從上面的研究我們可以看出,簡(jiǎn)單的確定性方程似乎可以產(chǎn)生類似于隨機(jī)嗓音的確定性軌道。這就意味著種群調(diào)查數(shù)據(jù)中那種明顯的不穩(wěn)定波動(dòng)不一定表明環(huán)境的變化莫測(cè)或是采樣有錯(cuò)誤:它們有可能是由完全確定性的種群數(shù)量變化關(guān)系所導(dǎo)致的……另外,還可以看到,在混沌中,不管初始條件有多接近,在足夠長(zhǎng)的時(shí)間之后,它們的軌道還是會(huì)相互分開。這意味著,即使我們的模型很簡(jiǎn)單,所有的參數(shù)也都完全確定,長(zhǎng)期預(yù)測(cè)也仍然是不可能。
這是其實(shí)一個(gè)非常負(fù)面的結(jié)論,系統(tǒng)存在混沌也就意味著,拉普拉斯式的完美預(yù)測(cè)不僅在實(shí)踐中無(wú)法做到,在原則上也是不可能的,因 為我們永遠(yuǎn)也無(wú)法知道x0x_0x0?小數(shù)點(diǎn)后的無(wú)窮多位數(shù)值。它與量子力學(xué)一 起,摧毀了19世紀(jì)以來(lái)的樂(lè)觀心態(tài),即認(rèn)為牛頓式宇宙就像鐘表一樣沿著可預(yù)測(cè)的路徑運(yùn)行。
混沌的共性
這一點(diǎn),我就簡(jiǎn)單說(shuō)一下,因?yàn)橹耙粋€(gè)敘述混沌的Blog里,我已經(jīng)寫的比較清楚了。
混沌的共性大概有以下兩點(diǎn):
- 倍周期分叉
- 費(fèi)根鮑姆常數(shù)
混沌思想帶來(lái)的革命
- 看似混沌的行為有可能來(lái)自確定性系統(tǒng),無(wú)須外部的隨機(jī)源。
- 一些簡(jiǎn)單的確定性系統(tǒng)的長(zhǎng)期變化,由于對(duì)初始條件的敏感依賴性,即使在原則上也無(wú)法預(yù)測(cè)。
- 雖然混沌系統(tǒng)的具體變化無(wú)法預(yù)測(cè),在大量混沌系統(tǒng)的普適共性中卻有一些“混沌中的秩序”,例如通 往混沌的倍周期之路,以及費(fèi)根鮑姆常數(shù)。因此雖然在細(xì)節(jié)上“預(yù)測(cè)變得不可能”,在更高的層面上混 沌系統(tǒng)卻是可以預(yù)測(cè)的。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的《复杂》读书笔记(part2)--混沌与逻辑斯蒂映射的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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