學習筆記，僅供參考

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文章目錄

• • 算法與數據結構--基于python
  • • 數據結構和算法簡介
    • 算法引入
    • • 例題A
      • 算法的概念
      • 例題A的優化
    • 算法效率的衡量
    • • 時間復雜度與大O記法
      • 例題A的時間復雜度
      • 如何理解大O記法
      • 最壞時間復雜度
      • 時間復雜度的幾條基本計算規則
      • 常見的時間復雜度

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算法與數據結構–基于python

數據結構和算法簡介

• 什么是數據結構

數據結構就是一些有關系的數據的集合，有順序表，鏈表，棧，隊列，樹，圖等結構，

我們的程序就等于數據結構+算法。

• 什么是算法

算法（Algorithm）是指解題方案的準確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制；不同的算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量；算法就是一種思路.

• 數據結構和算法的用處

  • 寫出的程序可以更高效；

  • 面對一些復雜問題可能無從下手，數據結構和算法可以鍛煉邏輯思維。

算法引入

例題A

如果 a+b+c=1000，且 a2+b2=c2（a,b,c為自然數），如何求出所有a、b、c可能的組合？（不使用數學公式）

枚舉法：

import timestart = time.time()for a in range(1001):# a取完讓b去取for b in range(1001):for c in range(1001):if a + b + c == 1000 and a**2 + b**2 == c**2:print(a,b,c) end = time.time() print('finish') print('程序用時：',(end-start))

運行結果：

0 500 500 200 375 425 375 200 425 500 0 500 finish 程序用時： 829.0995240211487

算法的概念

算法是計算機處理信息的本質，因為計算機程序本質上是用一個算法來告訴計算機確切的步驟，進而執行一個指定的任務。當算法在處理信息時，會從輸入設備或數據的存儲地址讀取數據，把結果寫入輸出設備或某個存儲地址供以后再調用。

算法是獨立存在的一種解決問題的方法和思想，對于算法而言，實現的語言并不重要，重要的是思想，算法有不同的語言實現版本（如C、Java、Python等）

• 算法的五大特性

  • 輸入: 算法具有0個或多個輸入;

  • 輸出: 算法至少有1個或多個輸出;

  • 有窮性: 算法在有限的步驟之后會自動結束而不會無限循環，并且每一個步驟可以在可接受的時間內完成;

  • 確定性：算法中的每一步都有確定的含義;

  • 可行性：算法的每一步都是可行的.

例題A的優化

import timestart = time.time()for a in range(1001):# a取完讓b去取for b in range(1001 - a):# a,b已經確定了c = 1000 - a - bif a**2 + b**2 == c**2:print(a,b,c) end = time.time() print('finish') print('程序用時：',(end-start))

運行結果：

0 500 500 200 375 425 375 200 425 500 0 500 finish 程序用時： 2.3102197647094727

最直觀的評判算法優劣的標準，就是運行時間，可以看到改進的算法運行時長明顯小于枚舉法，所以改進的算法一定程度上優于枚舉法。

算法效率的衡量

• 執行時間反應算法效率

實現算法程序的執行時間可以反應出算法的效率，即算法的優劣

• 單純依據時間衡量可信么？

單純依靠運行的時間來比較算法的優劣并不一定是客觀準確的；

程序的運行離不開計算機環境（包括硬件和操作系統），這些客觀原因會影響程序運行的速度并反應在程序的執行時間上。

時間復雜度與大O記法

假定計算機執行算法每一個基本操作的時間是固定的一個時間單位，那么有多少個基本操作就代表會花費多少時間單位。

雖然對于不同的機器環境而言，確切的單位時間是不同的，但是對于算法進行多少個基本操作（即花費多少時間單位）在規模數量級上卻是相同的，由此可以忽略機器環境的影響，而客觀的反應算法的時間效率。

對于算法的時間效率，我們可以用大O記法來表示。

大O記法：對于單調的整數函數$f$，如果存在一個整數函數$g$和實常數$c>0$，使得對于充分大的n總有$f(n)<=c?g(n)$，就說函數$g$是$f$的一個漸近函數（忽略常數），記為$f(n)=O(g(n))$。也就是說，在趨向無窮的極限意義下，函數$f$的增長速度受到函數$g$的約束，亦即函數$f$與函數$g$的特征相似。

時間復雜度：假設存在函數$g$，使得算法A處理規模為n的問題示例所用時間為$T(n)=O(g(n))$，則稱$O(g(n))$為算法A的漸近時間復雜度，簡稱時間復雜度，記為$T(n)$

例題A的時間復雜度

我們用$T$表示時間復雜度，則對于枚舉法來說，其時間復雜度為$T=k(1000?1000?1000)+b$，若用$n$代表數據規模，則$T=k(n^3)+b$，若存在函數$g(n)$，使$T(n)=k?g(n)+b$，因為$k$和$b$不影響大局，即相比于$g(n)$的形式來說，對時間的影響微不足道，所以我們拋棄$k$和$b$，則算法的趨勢為$T(n)=O(g(n))$

如何理解大O記法

對于算法進行特別具體的細致分析雖然很好，但在實踐中的實際價值有限。對于算法的時間性質和空間性質，最重要的是其數量級和趨勢，這些是分析算法效率的主要部分.

而計量算法基本操作數量的規模函數中那些常量因子可以忽略不計。例如，可以認為$3n^2$和$100n^2$屬于同一個量級，如果兩個算法處理同樣規模實例的代價分別為這兩個函數，就認為它們的效率差不多，都為$n^2$級.

最壞時間復雜度

分析算法時，存在幾種需要考慮的情況：

• 算法完成工作最少需要多少基本操作，即最優時間復雜度。

• 算法完成工作最多需要多少基本操作，即最壞時間復雜度。

• 算法完成工作平均需要多少基本操作，即平均時間復雜度。

我們主要關注算法的最壞情況，亦即最壞時間復雜度。

時間復雜度的幾條基本計算規則

• 基本操作，即只有常數項，認為就是$O(1)$
• 順序結構，時間復雜度按加法進行計算
• 循環結構(for)，時間復雜度按乘法進行計算
• 分支結構(if)，時間復雜度為分支中的時間復雜度的最大值

剛才的例題A中就存在分支結構(if)和循環結構(for)：

for a in range(1001):# a取完讓b去取for b in range(1001):for c in range(1001):if a + b + c == 1000 and a**2 + b**2 == c**2:print(a,b,c)

時間復雜度：$T(n)=n?n?n?max(1,0)=n^3$

當我們的程序遇到if時，可能會執行if語句體里的內容，也可能不執行，所以分支結構if中最多有1次操作，最少為0次，而我們計算時間復雜度時，則用最大操作次數1來計算。

常見的時間復雜度

執行次數函數舉例階非正式術語

12	$O(1)$	常數階
2n+3	$O(n)$	線性階
3n2+2n+1	$O(n^2)$	平方階
5log2n+20	$O(logn)$	對數階
2n+3nlog2n+19	$O(nlogn)$	$nlogn$階
6n3+2n2+3n+4	$O(n^3)$	立方階
2^n	$O(2^n)$	指數階

• 常見時間復雜度之間的關系

所消耗的時間從小到大：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法与数据结构(part1)--算法简介及大O表示法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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