學習筆記，僅供參考，有錯必糾

---

文章目錄

• • 常見的離散型分布

---

常見的離散型分布

• 單點分布$P(x=a)=1$
• 離散均勻分布$X～U(m)$，即$P(X=i)=\frac{1}{m}$
• 兩點分布$X～b(1,\theta )$，即$P(X=1)=\theta ,P(X=0)=1?\theta$

• 二項分布$X～b(n,\theta )$：n次相互獨立試驗中，事件A發生的次數，$P(X=k)=C_n^k{\theta }^k(1?\theta {)}^{n?k}$

$X～b(n,\theta )$的特征函數:

可加性:

若$X_1～b(n_1,\theta ),X_2～b(n_2,\theta )$且獨立，則$X_1+X_2～B(n_1+n_2,\theta )$

$X～b(n,\theta )$的極限分布:

$$\frac{X?n\theta }{\sqrt{n\theta (1?\theta )}}\to N(0,1)$$

• 幾何分布$X～G(\theta )$：首次成功所需試驗次數，$P(X=k)=(1?\theta {)}^{k?1}\theta$

特征函數：

令$q=1?\theta$，則：
$${\phi }^{\prime }(t)=\frac{\theta i{e}^{it}}{(1?q{e}^{it}{)}^2}$$

于是，${\phi }^{\prime }(0)=i\frac{1}{\theta }$，所以$E(X)=\frac{1}{\theta }$

以下計算$E(X^2)$：

• 泊松分布$X～P(\lambda )$

聯合概率密度函數：
$$P(X=k)=\frac{e^{?\lambda }{\lambda }^k}{k!},k=0,1,?$$

特征函數：

${\phi }^{\prime }(0)=i\lambda$，所以$E(X)=\lambda$
${\phi }^{\prime \prime }(0)=i^2(\lambda +{\lambda }^2)$，所以$E(X^2)=\lambda +{\lambda }^2$
因此，$Var(X)=\lambda$

• Pascal分布$X～PA(r,\theta )$：X表示取得r次成功所需實驗次數，每次實驗成功的概率為$\theta$，則

• 負二項分布$X～NB(r,\theta )$，($X$表示$r$次成功所經歷失敗的次數)，因此，$X+r$表示成功r次所需的試驗次數，令$Y=X+r$，則$Y～PA(r,\theta )$,于是：
  

性質：

$X～NB(r,\theta )$的特征函數：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数理统计(part2)--常见的离散型分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。