學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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文章目錄

• • 時間序列
  • • ADF檢驗
    • 多重單位根的檢驗方法
    • 結構突變與單位根檢驗
    • • 外生性結構突變點的檢驗方法
      • 內生性結構突變點的檢驗方法

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時間序列

ADF檢驗

如果被檢驗的真實過程是一個AR§ 過程，而檢驗式是AR(1)形式，那么由于對$y_t$形式的設定錯誤，檢驗式對應的誤差項必然表現為自相關。因為假定檢驗式誤差項是非自相關的，所以當誤差項具有相關性時，回歸參數的檢驗統計量不再服從DF分布.

如果$\rho =0$成立，則$y_t$含有單位根。稱此檢驗為ADF（增項或擴展的DF）檢驗。稱此統計量為ADF統計量。

注意，只有在樣本容量充分大的前提下，才可以用表1的第1部分中的臨界值。因為在小樣本條件下ADF分布與DF分布不一樣。

與上面的討論相仿，在ADF檢驗式中也可以加入漂移項$\mu$和時間趨勢項t。同理這些臨界值也是在樣本容量充分大的前提下才可用。對于下式：
$$\Delta y_t=\rho y_{t?1}+\sum {?}_j^{?}\Delta y_{t?j}+\mu +u_t$$
原假設認為$y_t$是一個非平穩過程，備擇假設認為$y_t$是一個均值非零的平穩過程。

對于下式：
$$\Delta y_t=\rho y_{t?1}+\sum {?}_j^{?}\Delta y_{t?j}+\mu +\alpha t+u_t$$
原假設認為$y_t$是一個非平穩過程，備擇假設認為$y_t$是一個確定性趨勢平穩過程。

ADF檢驗式也可以擴展到d.g.p.帶有移動平均成分的情形。只要檢驗式中的附加項$\Delta y_{t?j}$充分多，就能夠對ARMA(p,q)形式的$y_t$做很好的近似，從而保證*$u_t$*為白噪聲。因為實際中$y_t$的具體形式未知，所以差分滯后項個$\Delta y_{t?j}$數的選擇非常重要。滯后項個數太少，會導致當原假設為真時，拒絕原假設的概率變大。當滯后項個數太多時，又會導致檢驗功效降低（當備擇假設為真時，檢出的概率變低）

有人主張通過附加項是否具有顯著性以及調整的可決系數確定ADF檢驗式中差分滯后項的個數。如果是線性檢驗式，這種判別方法與赤池準則是等價的。也有人認為用調整的可決系數判別滯后項數不盡如人意。各種形式（ARMA、AR、MA）的$y_t$的蒙特卡羅試驗結果顯示這種判別方法存在一些問題。所以Schwert建議用下式確定最佳滯后期數k：
$$k=int\{12?(T/100{)}^{1/4}\}$$

• 例子

深圳綜合成指收盤價序列如下圖，檢驗是何種過程.

多重單位根的檢驗方法

Dickey and Pantula（1987）對此提出異議。他們認為當$y_t～I(2)$時，備擇選擇是，$y_t～I(1)$而單位根檢驗的備擇假設是$y_t～I(0)$。出現了不一致。這時需要檢驗的是$\Delta y_t$是否為平穩序列。所以正確的檢驗程序應該是首先對$y_t$取足夠次數的差分，從而保證被檢驗序列為平穩序列。然后每次用減少一次差分次數的序列依次進行單位根檢驗。直至接受原假設為止。從而判斷出$y_t$的單整階數

當$y_t～I(2)$時，${\Delta }^2{y}_t～I(0)$，首先應該做如下檢驗：
$${\Delta }^2{y}_t=\rho y_{t?1}\sum _{j=1}^k{?}_j^{?}{\Delta }^2{y}_{t?j}+u_t$$
如果結論是接受原假設，則$y_t～I(2)$有兩個單位根。

如果結論是拒絕原假設，則再次檢驗$\Delta y_t～I(0),y_t～I(1)$. 這種檢驗順序才合理.

實際中，經濟時間序列的單整階數不會超過2。所以對序列進行單位根檢驗的順序應該是${\Delta }^2{y}_t,\Delta y_t,y_t$ .

Dickey and Pantula基于蒙特卡羅模擬的結論顯示，當序列$y_t$含有多重單位根時，從$y_t$開始檢驗單位根，則拒絕原假設的能力有所下降。

結構突變與單位根檢驗

Perron指出，如果被檢驗過程是一個退勢平穩過程，并且在考慮的期間內存在趨勢結構突變。如果不考慮這種趨勢突變，當用ADF統計量檢驗單位根時，將會把一個帶趨勢突變的退勢平穩過程誤判為隨機趨勢非平穩過程。即進行單位根檢驗時不考慮結構突變，會導致檢驗功效降低（實為退勢平穩過程，檢驗結果卻認為是單位根過程）。同樣，當進行單位根檢驗時，不考慮漂移項存在突變，或不考慮趨勢項、漂移項同時存在突變，也會導致單位根檢驗功效降低。

• 例子

如下圖，有T=100的均值突變平穩過程$y_t$：

用虛擬變量（D=0，（1-50）； D=1，（51-100））區別突變前后兩個時期，得ADF檢驗式如下：

外生性結構突變點的檢驗方法

結構突變點已知時，稱其為外生性結構突變點。假定發生結構突變的時點已知為$t_B$，則發生在截距的突變為${\mu }_0+{\mu }_1{D}_t$，其中:
$$D_t=\{\begin{array}{ll}1,& t>t_B\\ 0,& t<t_B\end{array}$$

當突變發生在斜率而截距不變時，對應的模型為:

由于斜率反映增長率，因此也稱模型B為變化的增長率模型.

當截距和斜率同時具有結構突變時，對應的模型C為：
$$y_t={\mu }_0+{\mu }_1{D}_t+{\delta }_{0}t+{\delta }_1{t}^{?}+u_t$$
對于模型A，B，C，原假設和備擇假設為：
$$\begin{gathered} H_0:u_t～I(1) \\ {H}_1:u_t～I(0) \end{gathered}$$
當$u_t～I(1)$時，$y_t$為結構突變的單位根過程，而$u_t～I(0)$時，$y_t$為結構突變的趨勢平穩過程。

基于上述分析結構突變的單位根檢驗就轉化為對退化趨勢之后的殘差的單位根檢驗，其具體的檢驗步驟和方法如下：

結構突變的單位根檢驗的漸近臨界值:

• 例子

中國某指標的時序圖如下：

ADF檢驗式是：

若以1978年為結構突變年，令D=0, (1953-1977)；D=1, (1978-1997)；1952年，t =1。得帶有趨勢突變點的ADF檢驗式如下：

內生性結構突變點的檢驗方法

在不知道突變點位置的情形下，Banerjee, Lumsdaine and Stock（1992）應該用通常的ADF統計量或用遞歸法、滾動回歸法和序貫回歸法所有子樣本計算的ADF統計量中的最小的一個用來做上述3種檢驗檢出突變點。

• 遞歸法

以原樣本的第一個觀測值開始用k0個觀測值構成第一個子樣本。然后在第一個子樣本基礎上按順序每次增加一個觀測值構成一系列子樣本，一直到還原整個樣本范圍。子樣本容量用數學符號表示為：

• 滾動回歸法

滾動回歸法與遞歸回歸法有些類似。也是通過子樣本計算統計量的值，只不過子樣本的容量不是逐步擴大，而是保持一個定值，從{1, 2, …, k}, {2, 3, …, k+1}, …, 一直到子樣本{ T- k+1, T- k +2, …, T}。建議k =0.3 T。用每個子樣本按（8）式做單位根檢驗。用其中最小的ADF(k/T)值與表6中的滾動回歸法臨界值做比較檢驗單位根。H0：r = 0，存在單位根。

• 循序回歸法

設突變點發生在k期，循序回歸法是用整個樣本按下式回歸，并求ADF值：

在不知k期的具體位置時，可以令k逐期增加。每次都計算ADF(k/T)值，然后用最小的ADF(k/T)值與表7中的臨界值比較。另一個功效比較好的檢驗統計量是F統計量。對于趨勢突變和均值突變兩種情形，原假設都是${\alpha }_2=\rho =0$。從循序的F值中選最大的一個與表7中的臨界值比較，看能否推翻原假設。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列研(part8)--ADF检验的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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