學習筆記，僅供參考，有錯必究

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文章目錄

• • 時間序列習題
  • • 單位根檢驗舉例
    • • 四種典型的非平穩隨機過程
      • DF 統計量和 t 統計量的分布特征
      • • 情形1
        • 情形2
        • 情形3
        • DF 統計量的有限樣本分布特征總結
      • 單位根檢驗
      • • AR(1)過程的單位根檢驗
        • AR(p)過程的單位根檢驗
      • 例子1: 421天的深證成指序列
      • 例 2 ：中國就業總人數序列
      • 例 3 ：人民幣元兌美元匯率序列的單位根檢驗

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時間序列習題

單位根檢驗舉例

四種典型的非平穩隨機過程

• 隨機游走過程

• 隨機趨勢過程

對$y_t$作一次差分后，序列就平穩了：

所以也稱$y_t$為差分平穩過程（difference- stationary process）。 $\alpha$是$\Delta y_t$序列的均值，原序列$y_t$的增長速度。

• 趨勢平穩過程

• 趨勢非平穩過程

由上面 4 種隨機過程走勢可以看出，對于對數的宏觀經濟變量，隨機趨勢過程和退勢平穩過程是兩種最常見的表現形式。

下面分析隨機趨勢過程與平穩的 AR(1)過程的區別。對于如下過程：

DF 統計量和 t 統計量的分布特征

在介紹檢驗方法之前，先討論回歸系數統計量的分布。

情形1

$T(\hat{\beta }?1)$是檢驗單位根的一個常用統計量。有三個結論如下：

• DF統計量

檢驗單位根的另一個統計量是$t_{(\hat{\beta })}$統計量, $t_{(\hat{\beta })}$統計量在這里稱 DF 統計量。當$T\to \infty$時：

情形2

情形3

DF 統計量的有限樣本分布特征總結

單位根檢驗

AR(1)過程的單位根檢驗

對于時間序列$y_t$可用如下自回歸模型檢驗單位根：

以附表 6 中a部分的相應百分位數作為臨界值，若用樣本計算的：

DF > 臨界值，則接受 H 0 ，$y_t$非平穩；
DF < 臨界值，則拒絕 H 0 ，$y_t$是平穩的

• 注意

上述 DF 檢驗還可用另一種形式表達。(3.24) 式兩側同減$y_{t?1}$，得：

這種變化并不影響 DF 統計量的值，所以檢驗規則仍然是：
若 DF > 臨界值，則 y t 是非平穩的；
若 DF < 臨界值，則 y t 是平穩的。

這種檢驗方法是 DF 檢驗的常用方法。

舉例說明以上兩種單位根檢驗方法的 DF 值相同。用同一組數據 y t 得到的兩個回歸結果
如下（括號內給出的是標準差）：

注意：

AR§過程的單位根檢驗

以上方法只適用于 AR(1) 過程的單位根檢驗。當時間序列為 AR§ 形式，或者由以上形式檢驗得到的殘差序列存在自相關時，應采用如下形式檢驗單位根：

注意：

例子1: 421天的深證成指序列

421 天的深證成指序列見圖 3.20。從序列走勢看決不會是隨機趨勢非平穩序列，也不會是隨機趨勢序列。

• 檢驗方法（1）

不妨先按隨機趨勢序列設定檢驗式。帶有截距項的 DF 檢驗式的估計結果如下：

• 檢驗方法（2）

也可以用 F 統計量檢驗判斷漂移項的存在。對（3.35）式中兩個參數做都等于零的 F 檢
驗。

例 2 ：中國就業總人數序列

1978-2004 年中國就業人員數（ labor ，億人）序列如下圖：

從曲線變化情形看，這是一個帶有均值和斜率突變的非平穩序列。當加入虛擬變量 D1對這種變化進行描述時，就可以清楚地看到這一點。輸出結果如下：

輸出結果還可按兩個時期寫為：

用退勢的方法檢驗單位根。對（ 3.46 ）式作如下變換：

如果不考慮序列中的結構突變因素，直接用 ADF 檢驗式檢驗單位根，檢驗結果如下：

這個例子非常清楚地說明，中國就業人員數序列是一個退勢平穩序列。當序列存在結構突變，而又沒考慮到這種突變時，就會把一個退勢平穩序列錯判為含有單位根的序列。并再一次說明，當序列存在結構突變， ADF 檢驗式中如果不考慮這種結構突變，就會導致 ADF檢驗的功效大大降低

例 3 ：人民幣元兌美元匯率序列的單位根檢驗

截取其中 1991:1～1996:12 一段檢驗單位根。以 1993 年 12 月為突變點，設：

輸出結果如下：

D1 的系數有顯著性，說明序列確實存在結構變化。 t 和 (t-36)D1 項的系數都有顯著性，且前者為正，后者為負；說明并軌之前，人民幣元兌美元的長期趨勢一直在貶值；而并軌之后，人民幣元兌美元的長期趨勢一直在升值。

輸出結果還可按兩個時期寫為：

上式的殘差序列$\widehat{u_t}$是退勢以后的序列（用 $RE{S}_t$表示，見圖 3.44 residual ）。對 $RE{S}_t$做ADF 檢驗(AR§的單位根檢驗)，檢驗結果如下：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列研(part13)--习题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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