2.4.1 矩陣的秩

1）定義

在m×n矩陣中，任選r個(gè)行和r個(gè)列，將位于這r個(gè)行和r個(gè)行的交叉點(diǎn)上的個(gè)元素所構(gòu)成的一個(gè)r階行列式

（2-38）

叫做A的一個(gè)r階子式，顯然。

如果在m×n矩陣A中，有一個(gè)k階子式不為零，而所有的（k＋1）階子式都為零，則說(shuō)A的秩等于k，記為。

當(dāng)A的秩等于m時(shí)，則稱(chēng)A為行滿(mǎn)秩陣，顯然有：；當(dāng)A的秩等于n時(shí)，則稱(chēng)A為列滿(mǎn)秩陣，顯然有：。特別地，當(dāng)A是n階方陣時(shí)，如果，則稱(chēng)A為滿(mǎn)秩方陣。

【例2-10】 證明的秩。

【證】首先，在A中有一個(gè)二階子式：；其次，經(jīng)計(jì)算，A的任一個(gè)三階子式皆為零，例如：。因此，根據(jù)定義得：。證畢。
2）性質(zhì)
矩陣的秩有以下幾個(gè)性質(zhì)：
（1）設(shè)A為n×n矩陣，則的充要條件是：矩陣A的行列式不為零；
（2）對(duì)任意矩陣A，其轉(zhuǎn)置矩陣與A有相同的秩，即：＝；
（3）矩陣B、C的秩，均不小于它們相乘所得的矩陣A＝BC的秩，即：，；
（4）設(shè)A為m×n陣，如果P、Q分別為m階、n階的滿(mǎn)秩方陣，則：，，這個(gè)性質(zhì)表明，任何矩陣，經(jīng)與一個(gè)滿(mǎn)秩方陣相乘后，其秩不變。

2.4.2 廣義逆矩陣
如果矩陣不是方陣或方陣是奇異方陣，則對(duì)A的求逆就稱(chēng)為廣義逆，通常稱(chēng)為g逆。為區(qū)別起見(jiàn)，我們稱(chēng)非奇異矩陣的逆陣為凱利逆。下面介紹廣義逆矩陣的概念。
1）左逆（列滿(mǎn)秩陣的逆）
設(shè)誤差方程為： （2-39）
上式為矛盾方程組。當(dāng)A的秩時(shí)，A為列滿(mǎn)秩陣。令：
（2-40）
式中稱(chēng)為列滿(mǎn)秩陣A的左逆，它滿(mǎn)足：
（2-41）
但是，，且 為奇異陣，其行列式的值。
【例2-11】已知 ， 求矩陣A的逆。
【解】因?yàn)镽（A）＝2，故A為列滿(mǎn)秩陣，由公式（2-40）得：

利用公式（2-41）進(jìn)行驗(yàn)算：
注意：，經(jīng)計(jì)算，。
左逆的一般表達(dá)式為： （2-42）
其中，M為一個(gè)任意t階滿(mǎn)秩方陣。
因此，列滿(mǎn)秩陣A的逆不是唯一的。
設(shè)：，接公式（2-42）計(jì)算例2-11中的A的左逆：

驗(yàn)算：
2）右逆（行滿(mǎn)秩陣的逆）
設(shè)條件方程為：

（ r<n） （ 2-43） 上式為相容方程組，當(dāng)系數(shù)陣A的秩R（A）＝ 時(shí)，A為行滿(mǎn)秩陣。
行滿(mǎn)秩陣A的右逆為： （2-44）
它滿(mǎn)足：
（2-45）
右逆的一般表達(dá)式為： （2-46）
其中U為一個(gè)任意n階方陣U，且
因此，行滿(mǎn)秩陣A的右逆也不是唯一的。
【例2-12】 求矩陣 的逆陣。
【解】因?yàn)镽（A）＝2，則A為行滿(mǎn)秩矩陣。由（2-44）式得：

驗(yàn)算：
設(shè)：，由（2-46）式得：
驗(yàn)算：
3）廣義逆
設(shè)矩陣的秩R（A）≤min（m，n），則A的逆為廣義逆，通常稱(chēng)為g逆。它滿(mǎn)足下列等式：
（2-47）
凱利逆、左逆和右逆都能滿(mǎn)足（2-47）式，因此，它們都是A的廣義逆。A的廣義逆不唯一，設(shè)是A的一個(gè)g逆，則A的g逆的一般表達(dá)式為：
（2-48）
式中U和V為任意n×m階矩陣，矩陣G滿(mǎn)足g逆的條件：


g逆具有下列性質(zhì)：
（2-49）
當(dāng)矩陣的秩R（A）<min（m，n）時(shí)，A為降秩矩陣。可用秩分解法，或降階法求A的廣義逆。
（1）秩分解法
當(dāng)矩陣的秩R（A）<min（m，n）時(shí)，可分解為一個(gè)列滿(mǎn)秩矩陣B，與一個(gè)行滿(mǎn)秩矩陣C的乘積，即：
t<min（m，n） （2-50）
各矩陣的秩為：R（A）＝R（B）＝R（C）＝t。由（2-50）式可得A的逆為：
（2-51）
按（2-47）式檢驗(yàn)：

按秩分解法求廣義逆，先要將A分解成B和C。一般先選取列滿(mǎn)秩矩陣B，設(shè)其逆為，則矩陣C可按照下式求得：
（2-52）
【例2-13】 應(yīng)用秩分解法求矩陣的逆陣。
【解】經(jīng)計(jì)算 R（A）＝2，取： ，R（B）＝2，由（2-52）式得：

按（2-50）式進(jìn)行驗(yàn)算：

由公式（2-51）得A的廣義逆為：

驗(yàn)算：

（2）降階法
當(dāng)為奇異方陣，秩虧數(shù)d＝t－R（A），例如：，R（A）＝2，則d＝1。秩虧d＝1，說(shuō)明方陣A有一個(gè)行（或列）向量與其它兩個(gè)行（或列）向量線性相關(guān)。因此可將方陣A刪去某一行和相應(yīng)的某一列降階求逆，然后將刪去的行和列以“0”補(bǔ)之，即得矩陣A的廣義逆。如對(duì)矩陣A，如果刪去第一行和第一列，則有：
，
矩陣A的逆為：
驗(yàn)算：
如果刪去第二行第二列，或者刪去第三行第三列，所得的各不相同，但都能滿(mǎn)足公式（2-47），因此說(shuō)明具有多個(gè)解，而不是唯一的。
4）廣義逆
前面所述的是一個(gè)重要的廣義逆矩陣，它是存在的，但不是唯一的。如果作某些限制，可得到唯一的廣義逆，通常稱(chēng)為偽逆。設(shè)有矩陣，如矩陣能滿(mǎn)足下列四個(gè)條件，則稱(chēng)矩陣G為矩陣A的廣義逆，即：
（2-53）
當(dāng)A為非奇異的方陣時(shí)，其逆能滿(mǎn)足（2-53）式中的四個(gè)條件，故是A的廣義逆。
當(dāng)A為列滿(mǎn)秩陣時(shí)，其逆也能滿(mǎn)足公式（2-53）中的四個(gè)條件，故是A的廣義逆。
當(dāng)A為行滿(mǎn)秩陣時(shí)，其逆也能滿(mǎn)足（2-53）式中的四個(gè)條件，故是A的廣義逆。
當(dāng)矩陣的秩R（A）<min（m，n）時(shí)，秩分解A＝BC，，而A的逆也能滿(mǎn)足公式（2-53）中的四個(gè)條件，因此，也是A的廣義逆。