本文講解一個經典的面試題，使用 python 通過迭代和遞歸兩種方法重構二叉樹。

題目描述

輸入某二叉樹的前序遍歷和中序遍歷的結果，請重建該二叉樹。假設輸入的前序遍歷和中序遍歷的結果中都不含重復的數字。例如，給出：

前序遍歷 preorder = [3,9,20,15,7] 中序遍歷 inorder = [9,3,15,20,7]

返回如下的二叉樹：

3/ \9 20/ \15 7

限制：0 <= 節點個數 <= 5000。

遞歸方法

二叉樹的前序遍歷順序是：根節點、左子樹、右子樹，每個子樹的遍歷順序同樣滿足前序遍歷順序。

二叉樹的中序遍歷順序是：左子樹、根節點、右子樹，每個子樹的遍歷順序同樣滿足中序遍歷順序。

前序遍歷的第一個節點是根節點，只要找到根節點在中序遍歷中的位置，在根節點之前被訪問的節點都位于左子樹，在根節點之后被訪問的節點都位于右子樹，由此可知左子樹和右子樹分別有多少個節點。

由于樹中的節點數量與遍歷方式無關，通過中序遍歷得知左子樹和右子樹的節點數量之后，可以根據節點數量得到前序遍歷中的左子樹和右子樹的分界，因此可以進一步得到左子樹和右子樹各自的前序遍歷和中序遍歷，可以通過遞歸的方式，重建左子樹和右子樹，然后重建整個二叉樹。

遞歸方法的基準情形有兩個：判斷前序遍歷的下標范圍的開始和結束，若開始大于結束，則當前的二叉樹中沒有節點，返回空值 null。若開始等于結束，則當前的二叉樹中恰好有一個節點，根據節點值創建該節點作為根節點并返回。若開始小于結束，則當前的二叉樹中有多個節點。在中序遍歷中得到根節點的位置，從而得到左子樹和右子樹各自的下標范圍和節點數量，知道節點數量后，在前序遍歷中即可得到左子樹和右子樹各自的下標范圍，然后遞歸重建左子樹和右子樹，并將左右子樹的根節點分別作為當前根節點的左右子節點。

展開來說，以下面的圖為例子：

根據前序遍歷得知，3 是根節點。

根據中序遍歷得知，9 是左子樹且節點數為1，[15, 20, 7] 是右子樹且節點數為3。

根據上一步得到的左子樹右子樹節點個數，可以將前序遍歷劃分為左子樹、右子樹。

前序遍歷中左子樹的節點包含 [9] ，于是 9 就是左子樹根節點。另外，還可以知道左子樹在前序遍歷中的左右邊界為 [1, 1]，由于左右邊界相同，說明當前的左子樹其實是葉節點，續劃分左子樹右子樹的話，應該返回None。

前序遍歷中右子樹的節點包含 [20, 15, 7] ，于是 20 是右子樹根節點。另外，右子樹在前序遍歷中的邊界為 [2, 4]，左右邊界不相同，需要以20作為根節點繼續劃分子樹。如下圖所示：

在中序遍歷中發現 20 的左子樹有一個節點，右子樹有一個節點，因此在前序遍歷中可以確定 [15] 為左子樹，[7] 為右子樹。由于 20 的左右子樹在前序遍歷中邊界相同，所以是葉節點，樹構建完畢。

根據上面的理論，可以得到下面的代碼實現：

class TreeNode:def __init__(self, x):self.val = xself.left = Noneself.right = Noneclass Solution:# 遞歸（1） 56 msdef buildTree(self, preorder, inorder):# 將前序遍歷序列保存為屬性，方便遞歸時得到 valself.po = preorder# 構造一個字典，方便確定邊界self.dic = {}for i in range(len(inorder)):self.dic[inorder[i]] = i# 開始遞歸構造樹return self.recur(0, 0, len(inorder)-1)def recur(self, pre_root, in_left, in_right):# 由于葉子節點沒有左右子樹，弱繼續劃分則應該得到None# 因此，當左邊界大于右邊界時結束遞歸if in_left > in_right:return # 根據根節點的位置得到 valnode = self.po[pre_root]# 構造根節點root = TreeNode(node)# 得到根節點的 val 在中序遍歷序列中的位置i = self.dic[node]# 構造左子樹# 左子樹根節點為前序遍歷序列根節點右邊第一個元素# 右邊界為中序遍歷根節點位置左邊的一個位置root.left = self.recur(pre_root+1, in_left, i-1)# 構造右子樹# (i-in_left) 表示左子樹節點的個數# 右子樹根節點為前序遍歷序列根節點右邊第(i-in_left)+1個元素# 左邊界為中序遍歷根節點位置右邊的一個位置root.right = self.recur(pre_root+(i-in_left)+1, i+1, in_right)return roott = Solution().buildTree([3,9,20,15,7], [9,3,15,20,7]) print(t.val, t.left.val, t.right.val)

時間復雜度 O(N)： N 為樹的節點數量。初始化 HashMap 需遍歷 inorder ，占用 O(N) ；遞歸共建立 N 個節點，每層遞歸中的節點建立、搜索操作占用 O(1)，因此遞歸占用 O(N)。（最差情況為所有子樹只有左節點，樹退化為鏈表，此時遞歸深度 O(N) ；平均情況下遞歸深度 O($lo{g}_{2}N$)。

空間復雜度 O(N)： HashMap 使用 O(N) 額外空間；遞歸操作中系統需使用 O(N) 額外空間。

基于遞歸的思想，還有一種寫法：

class Solution:# 遞歸（2） 192 msdef buildTree(self, preorder, inorder):if not preorder:return Noneloc = inorder.index(preorder[0])root = TreeNode(preorder[0])root.left = self.buildTree(preorder[1 : loc + 1], inorder[ : loc])root.right = self.buildTree(preorder[loc+1 : ], inorder[loc+1: ])return root

這樣的寫法更多的使用了python內置的方法，看起來十分簡潔，就是執行時間長了一些。

迭代方法

例如要重建的是如下二叉樹：

3/ \9 20/ / \8 15 7/ \5 10/ 4

其前序遍歷和中序遍歷如下：

preorder = [3,9,8,5,4,10,20,15,7] inorder = [4,5,8,10,9,3,15,20,7]

解題步驟：

• 使用前序遍歷的第一個元素(例如 3)創建根節點。
• 創建一個棧，將根節點 (例如 3) 壓入棧內，接下來準備一路向左構建左子樹。
• 初始化中序遍歷下標為 0。
• 遍歷 preorder 中還未訪問過的每個元素(例如 [9,8,5,4,10,20,15,7])，判斷棧頂元素是否等于中序遍歷下標指向的元素 (例如 4) 。
• 若棧頂元素不等于中序遍歷下標指向的元素 (例如 4) ，說明當前的 preorder 元素還沒到達樹的最左端，則將當前元素 (例如 9) 作為其上一個元素(例如棧頂元素 3)的左子節點，并將當前元素 (例如 9) 壓入棧內，繼續對 preorder 中還未訪問過的每個元素(例如 [8,5,4,10,20,15,7]) 重復此過程，一直向左構建子樹 (例如可以得到 3->9->8->5->4)，并將構建的子樹入棧 (例如得到棧 [3,9,8,5,4])。
• 若棧頂元素(即上一次遍歷的元素，例如 4)等于中序遍歷下標指向的元素 (例如 4) ，則從棧內彈出一個元素 (例如 彈出 4)，同時令中序遍歷下標指向下一個元素 (例如 5) ，之后繼續判斷棧頂元素 (例如 5) 是否等于中序遍歷下標指向的元素，若相等則重復該操作，直至棧為空或者元素不相等（例如 8 出棧以后，棧頂元素 9 與中序遍歷元素 10 不同），這說明在棧頂元素(例如 8) 產生了分支，因此令當前元素 (例如 10) 作為最后一個相等元素（即剛剛出棧的元素 8 ）的右節點。
• 遍歷結束，返回根節點。

代碼如下：

class TreeNode:def __init__(self, x):self.val = xself.left = Noneself.right = Noneclass Solution:# 迭代 56 msdef buildTree(self, preorder, inorder):if not preorder:return None root = TreeNode(preorder[0])stack = []L = len(preorder)stack.append(root)index = 0 for i in range(1, L):preorderval = preorder[i]# 中序的當前 i 不等于棧頂時表示還沒搜索到根節點，# 每次append的的preorder[i]其實都是其左子樹，左子樹的左子樹，...if stack[-1].val != inorder[index]: #進左子樹node = stack[-1]node.left = TreeNode(preorderval)stack.append(node.left)#一旦中序inorder里的元素與棧頂相等時，表示左子樹已經走完了else:# 如果棧彈空了，表示根節點root出棧了# == 時表示當前出棧元素沒有右孩子while stack and stack[-1].val == inorder[index]:node = stack[-1]stack.pop()index += 1 node.right = TreeNode(preorderval) stack.append(node.right)return root t = Solution().buildTree([3,9,20,15,7], [9,3,15,20,7]) print(t.val, t.left.val, t.right.val)

時間復雜度：O(n) ，前序遍歷和后序遍歷都被遍歷。

空間復雜度：O(n) ，額外使用棧存儲已經遍歷過的節點。

參考文章：

面試題07. 重建二叉樹

迭代-棧圖解：劍指07. （前序中序）重建二叉樹：遞歸

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【剑指offer 07】用迭代和递归两种方法重构二叉树（python实现）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。