假設我們要計算 $2^{10}$ 對1000取模的結果，可以很簡單的得到24。但是如果要求 $2^{1000}$ 對1000取模的結果，常規方法就行不通了，因為常規的變量無法容納這么大的數值。為此，需要借助數學技巧求解。

循環求余法

首先引入一個好理解的取模運算公式：
$$(a\times b)\%p=(a\%p\times b\%p)\%p$$
舉個例子：
$$\begin{gathered} a=9,b=9 \\ (9\times 9)\%6=(9\%6\times 9\%6)\%6=（3\times 3)\%6=3 \end{gathered}$$
受上面計算過程的啟發，不難得到下面的取模運算公式：
$$x^a\%p=\left((x\%p{)}^a\right)\%p$$
即 a 個 x 的乘積可以分解為 a 個 x 對 p 余數的乘積再對 p 取余，即 $\left((x\%p{)}^a\right)\%p$ 。

舉個例子：
$$\begin{gathered} x=9,a=2,p=6 \\ (9^2)\%6=(9\%6{)}^2\%6=3^2\%6=3 \end{gathered}$$
對于上面的例子，如果 a = 1000，難道最后還得計算 $3^{1000}\%6$ 嗎？其實可以這么做：

在進行 a 次迭代計算 x 對 p 余數的過程中，先將第 $i$ 次迭代得到的余數用變量 rem 保存起來，在進行第 $i+1$ 次迭代的時候，由 (rem * (x%p)) % p 所得到的結果就是 $x^{i+1}\%p$ 的結果。

舉個例子，求 $x^3\%p$ 的過程如下：

1，rem = x % p 2，rem = x^2 % p = ((x%p) * (x%p)) % p = (rem * (x%p)) % p 3，rem = x^3 % p = ((x^2%p) * (x%p)) % p = (rem * (x%p)) % p

可以看到這個過程的時間復雜度是 O(N)，其中 N = a，代碼實現如下：

# 求 (x^a) % p —— 循環求余法 def reminder1(x, a, p):rem = 1for _ in range(a):rem = (rem * (x%p)) % preturn remx, a, p = 2,100000000, 3 print(reminder1(x, a, p)) # 用時：9.06s

觀察(rem * (x%p)) % p，發現既然括號的外面要用 p 取模，那么內部的(x%p)就顯得沒有必要了，因此可以簡化為：(rem * x) % p ：

# 求 (x^a) % p —— 循環求余法 def remainder2(x, a, p):rem = 1for _ in range(a):rem = (rem * x) % preturn remx, a, p = 2,100000000, 3 print(reminder2(x, a, p)) # 用時：6.76s

快速冪求余

上面的過程中，我們每一次迭代都是計算 $x\%p$，所以需要迭代 a 次。其實這個過程還有優化的空間：

如果我們每次都計算 $x^2\%p$，那只需要迭代 a/2 次。也就是說，可以把指數 a 級的問題轉換為 a/2 級的問題，如果繼續分解這個計算過程，又可以得到：
$$x^a\%p=（x^2\%p{）}^{a/2}\%p={\left((x^2\%p{)}^2\%p\right)}^{a/4}\%p=...$$
最終計算 $x^a\%p$ 的時間復雜度僅為 $O(logN)$ 。

實際上，上面的式子忽略了一個問題， a 可能是奇數也可能是偶數，因此對 a/2 的處理上需要遵循下面的公式：
$$x^a\%p=\{\begin{array}{l}{\left(x^2\%p\right)}^{a//2}\%p,a為偶數\\ \left[(x\%p)\left(x^{a?1}\%p\right)\right]\%p=\left[x{\left(x^2\%p\right)}^{a//2}\right]\%p,a為奇數\end{array}$$
式子中的 // 表示除法運算的結果向下取整。此計算過程的代碼實現如下：

# 求 (x^a) % p —— 快速冪求余 def remainder3(x, a, p):rem = 1while a > 0:# 無論 a 是奇數或偶數，a//2的結果是一樣的# 因此，對于奇數要進行特殊處理if a % 2: rem = (rem * x) % p# 底數變大為原來的平方：x = x ** 2 % p# 指數變為原來的一半a //= 2return rem x, a, p = 2,100000000, 3 print(remainder3(x, a, p)) # 幾乎等于0

為什么 rem 只在 a 為奇數的時候才計算呢？

假設 a = 4，那么

• 第一次迭代后 a=2， x = x^2 % p；
• 第二次迭代后 a=1，x = (x^2 % p)^2 %p；
• 第三次迭代時，可以求得 rem = (1 * x) % p，且 a = 0;
• 結束循環，返回了 rem。

假設 a = 5，那么：

• 第一次迭代后 rem = x%p，a=2， x = x^2 % p；
• 第二次迭代后 a=1，x = (x^2 % p)^2 %p；
• 第三次迭代時，可以求得 rem = (rem * x) % p，且 a = 0;
• 結束循環，返回了 rem。

也就是說無論 a 是奇數還是偶數， a//2的計算結果都是交替出現的奇數和偶數，并且最終都會得到 a = 1 計算出 rem，然后結束循環，返回 rem。因此只需要在 a 為奇數的時候計算 rem 即可保證最后得到的 rem 就是我們想要的值。

參考文章：

面試題14- II. 剪繩子 II（數學推導 / 貪心思想 + 快速冪求余，清晰圖解）

快速冪算法（全網最詳細地帶你從零開始一步一步優化）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【面试相关】python实现快速幂取余算法详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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