??? 解一元三次方程一般用盛金公式求解，算法高效且求出來的解精確。
??? 百度百科關于盛金公式有如下解釋：

盛金公式
　　Shengjin's Formulas
　　一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
　　重根判別式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
　　總判別式：Δ=B^2－4AC。
　　當A=B=0時，盛金公式①：
　　X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
　　當Δ=B^2－4AC>0時，盛金公式②：
　　X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
　　X(2,3)=(－2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)，
　　其中Y(1, 2)=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
　　當Δ=B^2－4AC=0時，盛金公式③：
　　X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，　
　　其中K=B/A，(A≠0)。
　　當Δ=B^2－4AC<0時，盛金公式④：
　　X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
　　X(2,3)=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，
　　其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
盛金判別法
　　Shengjin's Distinguishing Means
　　①：當A=B=0時，方程有一個三重實根；
　　②：當Δ=B^2－4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛復根；
　　③：當Δ=B^2－4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根；
　　④：當Δ=B^2－4AC<0時，方程有三個不相等的實根。
????? 個人實現的代碼實現如下：
??????
#include <cmath>
using namespace std;

#define ZERO???????????????????????????????????????????? 1e-6
#define ISZERO(Value)??????????????????????????????????? ((-1.0f * ZERO < (Value)) && ((Value)? < 1.0f * ZERO))
#define LESSTHANZERO(Value)????????????????????????????? ((Value) < ZERO)
#define GREATERTHANZERO(Value)?????????????????????????? (ZERO < (Value))
#define ISBETWEEN(Value, Value1, Value2)???????????????? (GREATERTHAN(Value, MIN(Value1, Value2)) && LESSTHAN(Value, MAX(Value1, Value2)))
typedef double RealNum;

typedef struct tagComplex
{
??? RealNum? real;
??? RealNum? image;
}Complex;

//rA * (X ^3) + rB * (X ^ 2) + rC * (X) + rD = 0

int Shengjin(RealNum rA, RealNum rB, RealNum rC, RealNum rD, RealNum* rX1, RealNum* rX2, RealNum* rX3)
{
??? RealNum fDA = rB * rB - 3.0f * rA * rC;
??? RealNum fDB = rB * rC - 9.0f * rA * rD;
??? RealNum fDC = rC * rC - 3.0f * rB * rD;

??? RealNum rTempA = ABSZERO;
??? RealNum rTempB = ABSZERO;
??? RealNum fDelta = fDB * fDB - 4.0f * fDA * fDC;
??? if (ISZERO(fDA) && ISZERO(fDB))
??? {
??? ??? if (!ISZERO(rA))
??? ??? {
??? ??? ??? *rX1 = -1.0f * rB / (3.0f * rA);
??? ??? }
??? ??? else if (!ISZERO(rB))
??? ??? {
??? ??? ??? *rX1 = -1.0f * rC / rB;
??? ??? }
??? ??? else if (!ISZERO(rC))
??? ??? {
??? ??? ??? *rX1 = -1.0f * rD / rC;
??? ??? }
??? ??? else// if (!ISZERO(rD))
??? ??? {
??? ??? ??? return 0;
??? ??? }
??? ??? *rX2 = *rX1;
??? ??? *rX3 = *rX1;
??? ??? return 1;
??? }

??? if (GREATERTHANZERO(fDelta))
??? {
??? ??? RealNum rY1 = fDA * rB + 3.0f * rA * (0.5f * (-1.0f * fDB + sqrtf(fDelta) ));?
??? ??? RealNum rY2 = fDA * rB + 3.0f * rA * (0.5f * (-1.0f * fDB - sqrtf(fDelta) ));
??? ??? if (GREATERTHANZERO(rY1))
??? ??? {
??? ??? ??? rTempA = powf(rY1, 1.0f / 3.0f);
??? ??? }
??? ??? else
??? ??? {
??? ??? ??? rTempA = -1.0f * powf(-1.0f * rY1, 1.0f / 3.0f);
??? ??? }
??? ??? if (GREATERTHANZERO(rY2))
??? ??? {
??? ??? ??? rTempB = powf(rY2, 1.0f / 3.0f);
??? ??? }
??? ??? else
??? ??? {
??? ??? ??? rTempB = -1.0f * powf(-1.0f * rY2, 1.0f / 3.0f);
??? ??? }
??? ??? *rX1 = -1.0f * (rB + rTempA + rTempB) * (1.0f / (3.0f * rA));
??? ??? Complex cX2;
??? ??? cX2.real? = (1.0f / (6.0f * rA)) * (-2.0f * rB + rTempA + rTempB);
??? ??? cX2.image = (1.0f / (6.0f * rA)) * sqrtf(3.0f) * (rTempA -rTempB);
??? ??? Complex cX3;
??? ??? cX3.real? = cX2.real;
??? ??? cX3.image = -1.0f * cX2.image;

??? ??? return 1;
??? }
??? else if (ISZERO(fDelta))
??? {
??? ??? if (ISZERO(fDA))
??? ??? {
??? ??? ??? return 0;
??? ??? }
??? ??? RealNum rK = fDB / fDA;
??? ??? *rX1 = -1.0f * rB / rA + rK;
??? ??? *rX2 = -0.5f * rK;
??? ??? *rX3 = *rX2;
??? ??? return 2;
??? }
??? else
??? {
??? ??? if (LESSTHANZERO(fDA))
??? ??? {
??? ??? ??? return 0;
??? ??? }
??? ??? if (GREATERTHANZERO(fDA))
??? ??? {
??? ??? ??? rTempA = powf(fDA, 3.0f);
??? ??? }
??? ??? else
??? ??? {
??? ??? ??? rTempA = -1.0f * powf(-1.0f * fDA, 3.0f);
??? ??? }
??? ??? RealNum rT = (2.0f * fDA * rB - 3.0f * rA * fDB) / (2.0f * sqrtf(rTempA));
??? ??? if (!ISBETWEEN(rT, -1.0f, 1.0f))
??? ??? {
??? ??? ??? return 0;
??? ??? }
??? ??? RealNum rTheta = acosf(rT);
??? ??? *rX1 = -1.0f * (rB + 2.0f * sqrtf(fDA) * cos(rTheta / 3.0f)) * (1.0f / (3.0f * rA));
??? ??? *rX2 = (-1.0f * rB + sqrtf(fDA) * (cos(rTheta / 3.0f) + sqrtf(3.0f) * sin(rTheta / 3.0f))) * (1.0f / (3.0f * rA));
??? ??? *rX3 = (-1.0f * rB + sqrtf(fDA) * (cos(rTheta / 3.0f) - sqrtf(3.0f) * sin(rTheta / 3.0f))) * (1.0f / (3.0f * rA));
??? ??? return 3;
??? }

??? return 0;
}

轉載于:https://www.cnblogs.com/menggucaoyuan/archive/2011/08/20/2147409.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的用盛金公式求解一元三次方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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