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狄利克雷函數(shù)

19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出一個函數(shù)：

這屬于一個人造函數(shù)，而這個函數(shù)本身卻給我們帶來很多深刻的思考。

首先最好來感受一下這個函數(shù)。當(dāng)x取有理數(shù)的時候，函數(shù)值為1；當(dāng)x取無理數(shù)的時候，函數(shù)值為0。這里糾結(jié)的地方在哪里呢？無理數(shù)和有理數(shù)密密麻麻地?fù)诫s在一起，任意兩個無理數(shù)之間有無窮多個有理數(shù)，任意兩個有理數(shù)之間有無窮多個無理數(shù)。也就是不管x的區(qū)間取得多么小，函數(shù)值會急劇地在0與1之間反復(fù)跳動。

這種跳動不是一般的函數(shù)波動，而是捉摸不到的、極其迅速的跳變。因此狄利克雷函數(shù)是極度不連續(xù)的。

所以，狄利克雷函數(shù)的一個重要特點就是：無法作圖。你可以試著把x軸上的有理數(shù)和無理數(shù)進行分離，屬于有理數(shù)的點上升一個單位，屬于無理數(shù)的點停留在原處。當(dāng)然，這只能存在于想象中，圖形無法表示。

這就使得函數(shù)的概念擴大了。函數(shù)不一定需要表達(dá)式，甚至不需要圖像，它成為了一個抽象的概念。只要存在某種對應(yīng)關(guān)系，我們就可以稱之為函數(shù)。

狄利克雷函數(shù)的奇偶性和周期性

假設(shè) x x x 是在正半軸上的，如果它是有理數(shù)， ? x -x ?x 也為有理數(shù)；如果它是無理數(shù)， ? x -x ?x 也為無理數(shù)。例如 x = π x=\pi x=π，那么 f ( π ) = 0 , f ( ? π ) = 0 f(\pi)=0, f(-\pi)=0 f(π)=0,f(?π)=0。所以對于一切 x x x， f ( x ) = f ( ? x ) f(x)=f(-x) f(x)=f(?x) 。于是狄利克雷函數(shù)是偶函數(shù)，也就是它的圖像是軸對稱的，是可以關(guān)于 y y y 軸折起來的（實數(shù)的對稱性）。

再說周期性。任何有理數(shù)都可以作為狄利克雷函數(shù)的周期。即 f ( x + 有 理 數(shù) ) = f ( x ) f(x+有理數(shù))=f(x) f(x+有理數(shù))=f(x) 。如果 x x x 為有理數(shù)，則有 1 = 1 1=1 1=1；如果 x x x 為無理數(shù)，則有 0 = 0 0=0 0=0。

無理數(shù)可不可以作為函數(shù)的周期呢？答案是否定的。假設(shè)無理數(shù)可以作為周期，肯定有 f ( x + π ) = f ( x ) f(x+\pi)=f(x) f(x+π)=f(x)。如果我取 x = ? π x=-\pi x=?π，則得到 1 = 0 1=0 1=0。然而這是不成立的，說明假設(shè)是錯誤的。

最后，我們回到函數(shù)的“極度”不連續(xù)上。“極度”的意思就是函數(shù)“圖像”下面沒有面積，也就是它和x軸圍不出面積。那么我們就要去問：函數(shù)不連續(xù)到什么程度它下面才會沒有面積？

From: 狄利克雷函數(shù)

作用

• 定義在整個數(shù)軸上。
• 無法畫出圖像。
• 以任何正有理數(shù)為其周期（從而無最小正周期）。
• 處處無極限、不連續(xù)、不可導(dǎo)。
• 在任何有界區(qū)間上黎曼不可積。另一方面也作為反例說明了對于黎曼積分，單調(diào)收斂定理不成立。
• 是偶函數(shù)。
• 它在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上勒貝格可積。

它就是一朵奇葩，打破你對函數(shù)基本性質(zhì)的一切美好想象。它是一柄照妖鏡，在你猜測一個關(guān)于函數(shù)的命題前，可以先用它照一下。

From: 狄利克雷函數(shù)（Dirichlet Function）有什么用處？

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dirac 在 Matlab 中使用

Syntax
d = dirac(x)
d = dirac(n,x)

d = dirac(x) represents the Dirac delta function of x.
d = dirac(n,x) represents the nth derivative of the Dirac delta function at x.

dirac(t)
這表示關(guān)于 t t t 的狄利克雷函數(shù)

dirac(1,t)
dirac(2,t)
因此，這兩個分別表示關(guān)于 t t t 的狄利克雷函數(shù)的 1 階 2 階導(dǎo)數(shù)。

dirac(t,1)
ans = 0

dirac(t,2)
ans = 0

dirac(t,0)
ans = (-1)^t*Inf

From: https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/sym.dirac.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论狄利克雷定理_shx函数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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