康托展開的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai為當前未出現的元素中是排在第幾個（從0開始）。

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用康托展開將排列對應為整數 即這個排列在所有排列中的字典序

舉個例子來說明一下：

例如，有一個數組 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一個排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，現在要把 s1 映射成 X。

n 指的是數組的長度，也就是4，所以

X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!

關鍵問題是 a4、a3、a2 和 a1?等于什么？

a4 = "D" 這個元素在子數組 ["D", "B", "A", "C"] 中是第幾大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 這個元素在子數組 ["B", "A", "C"] 中是第幾大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 這個元素在子數組 ["A", "C"] 中是第幾大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 這個元素在子數組 ["C"] 中是第幾大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因為子數組只有1個元素，所以a1總是為0）

所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

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八數碼解法一：廣搜+哈希

　　考慮到費時主要在STL，對于大規模的遍歷，用到了ST的set和string，在效率上的損失是很大的，因此，現在面臨一個嚴重的問題，必須自己判重，為了效率，自然是自己做hash。有點麻煩，hash函數不好想，實際上是9！種排列，需要每種排列對應一個數字。網上搜索，得知了排列和數字的對應關系。取n!為基數，狀態第n位的逆序值為哈希值第n位數。對于空格，取其為9，再乘以8!。例 如，1 3 7 24 6 9 5 8 的哈希值等于：0*0! + 2*1! + 0*2! + 1*3! + 3*4! +1*5! + 0*6! + 1*7! + 0*8! <9!具體的原因可以去查查一些數學書，其中1 2 34 5 6 7 8 9 的哈希值是0 最小，9 8 7 6 54 3 2 1 的哈希值是（9!-1）最大。而其他值都在0 到（9!-1） 中，且均唯一。然后去掉一切STL之后，甚至包括String之后，得到單向廣搜+Hash的代碼，算法已經可以在三秒鐘解決問題，可是還是不夠快！POJ時限是1秒，后來做了簡單的更改，將路徑記錄方法由字符串改為單個字符，并記錄父節點，得到解，這次提交，266ms是解決單問題的上限。當然，還有一個修改的小技巧，就是逆序對數不會改變，通過這個，可以直接判斷某輸入是否有可行解。由于對于單組最壞情況的輸入，此種優化不會起作用，所以不會減少單組輸入的時間上限。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/zeze/p/6209538.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的康托展开与八数码问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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