? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 以前不是很重視 DP ，遇到 DP 就寫貪心、暴搜……其實這是非常錯誤的，現在開始練習 DP 了才發現，我好菜……

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 對于DP的整理，先從眾所周知的背包問題開始。

———————— 01背包：n 個物品，重量和價值分別為 w[i]、v[i]，背包容量 W,求所有挑選方案中價值總和的最大值。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?DP 方程 ：dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] ] + v[i] ) ，其中 dp[j]為使用 j 的容量獲得的最大價值，i 為第 i 件物品。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼：

1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<string> 7 using namespace std; 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000]; 9 int main(){ 10 scanf("%d %d",&n,&W); 11 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]); 12 for(int i=1;i<=n;i++) 13 for(int j=W;j>=w[i];j--){ 14 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 15 } 16 printf("%d",dp[W]); 17 return 0; 18 } 01背包

?

———————— 完全背包：n 種物品，數目不限，其他的和 01背包 一 樣。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?DP 方程 ： dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] + v[i] ) ，是不是感覺和 01背包 一樣？其實，就是 一樣……-- ^ --|||||，但代碼有細微差別……

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼：

1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<string> 7 using namespace std; 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000]; 9 int main(){ 10 scanf("%d %d",&n,&W); 11 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]); 12 for(int i=1;i<=n;i++) 13 for(int j=w[i];j<=W;j++){ 14 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 15 } 16 printf("%d",dp[W]); 17 return 0; 18 } 完全背包

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 那么，問題來了，為什么 01背包 是倒著 循環，而 完全背包 是正著循環……動筆模擬一下，你會發現且理解 — 正著循環會對一件物品重復選取╮（╯＿╰）╭，而倒著循環就不會……

?

————————?多重背包：n 種物品，給定數目 m[i]，其他和 01 背包一樣。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?DP 方程：dp[j] =max ( dp[j],dp[ j - w[i] ] + v[i] ），&%&……￥怎么又一樣，其實 多重背包 就是特殊處理化的 01背包,這個特殊處理就是 二進制拆分。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?二進制拆分：眾所周知什么是二進制，二進制拆分就是把 m[i] 個物品拆成 1個物品、2個物品組成的新物品、4個物品組成的新物品、8個物品組成的新物品……一 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?直到不能拆為止，因為二進制可以 表示 出任何實數的嘛。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼：

1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<string> 7 using namespace std; 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000]; 9 int main(){ 10 scanf("%d %d",&n,&W); 11 int x=n; 12 int y; 13 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]); 14 for(int i=1;i<=x;i++){ 15 y=1; 16 while(m[i]>y&&m[i]>1){ 17 n++; 18 w[n]=y*w[i]; 19 v[n]=y*v[i]; 20 m[i]-=y; 21 y=y*2; 22 } 23 w[i]=m[i]*w[i]; 24 v[i]=m[i]*v[i]; 25 } 26 for(int i=1;i<=n;i++) 27 for(int j=W;j>=w[i];j--){ 28 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 29 } 30 printf("%d",dp[W]); 31 return 0; 32 } 多重背包

?

———————— 三種混合背包（01背包、完全背包、多重背包）：這種問題就是給定 m[i]，若 m[i] 為 -1，則為數目無限，否則數目有限，其他的和 01背包 一樣。雖然寫著是三種 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?混合背包，但我認為實際上是兩種背包，多重背包 和 完全背包。方法就是能拆分的就拆分，在循環的時候，判斷一下，如果是 完全背包 就正著循環，不然就倒 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?著循環…………蠻easy的QAQ~

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼：

1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<string> 7 using namespace std; 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000]; 9 int main(){ 10 scanf("%d %d",&n,&W); 11 int x=n; 12 int y; 13 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]); 14 for(int i=1;i<=x;i++) if(m[i]!=-1) { 15 y=1; 16 while(m[i]>y&&m[i]>1){ 17 n++; 18 w[n]=y*w[i]; 19 v[n]=y*v[i]; 20 m[i]-=y; 21 y=y*2; 22 } 23 w[i]=m[i]*w[i]; 24 v[i]=m[i]*v[i]; 25 } 26 for(int i=1;i<=n;i++) 27 if(m[i]!=-1) 28 for(int j=W;j>=w[i];j--){ 29 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 30 } 31 else 32 for(int j=w[i];j<=W;j++) 33 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 34 printf("%d",dp[W]); 35 return 0; 36 } 混合背包

轉載于:https://www.cnblogs.com/Misaki-Mei/p/7347556.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的DP——背包问题（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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