通常來說從決策數量上來優化Dp有以下幾種方法：

斜率優化

用于優化帶多項式的乘積項的狀態轉移方程，即f[i]=min/max{f[j]+(x[i]-x[j])^2} 這樣的，

我們把他展開可以得到f[i]=min/max{f[j]+x[i]^2+x[j]^2-2*x[i]*x[j]}?

根據動規方程狀態i從狀態j轉化而來，

我們可以化成類似f[i]=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])+(i+…)的形式?

其中藍色部分只與j有關，紅色部分與i，j有關，綠色部分只與i或常數有關?

我們可以固定i，故變形為?

f[i]-i-…=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])?

考慮幾何意義，?

令藍色部分為y，紅色部分中的i部分為導數k，紅色部分中j部分為x，綠色部分只是常數，在幾何意義上只是截距，與單調性無關，可以設為B?

故得y=kx-B?

這樣就可以利用線性規劃來做了，

容易發現無論一次函數的斜率怎么變，截距最小時取的點一定是那所有點求出的下凸殼上的某一個點。 因此我們只要每次在上邊尋找最優解，然后加點時維護這個下凸殼即可。 根據斜率和(x,y)的單調性不同有不同的維護方法。

四邊形不等式優化

下面我們通過四邊形不等式來優化上述方程，首先介紹什么是”區間包含的單調性“和”四邊形不等式“

（1）區間包含的單調性：如果對于i≤i'<j≤j'，有w(i',j)≤w(i,j')，那么說明w具有區間包含的單調性。（可以形象理解為如果小區間包含于大區間中，那么小區間的w值不超過大區間的w值）

（2）四邊形不等式：如果對于i≤i'<j≤j'，有w(i,j)+w(i',j')≤w(i',j)+w(i,j')，我們稱函數w滿足四邊形不等式。（可以形象理解為兩個交錯區間的w的和不超過小區間與大區間的w的和）

下面給出兩個定理

定理一：如果上述的w函數同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那么函數m也滿足四邊形不等式性質。

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我們再定義s(i,j)表示m(i,j)取得最優值時對應的下標（即i≤k≤j時，k處的w值最大，則s(i,j)=k）。此時有如下定理

定理二：假如m(i,j)滿足四邊形不等式，那么s(i,j)單調，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。

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好了，有了上述的兩個定理后，我們發現如果w函數滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那么有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原來的狀態轉移方程可以改寫為下式：

m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改為max）

由于這個狀態轉移方程枚舉的是區間長度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的長度為L-1，是之間已經計算過的，可以直接調用。不僅如此，區間的長度最多有n個，對于固定的長度L，不同的狀態也有n個，故時間復雜度為O(N^2)，而原來的時間復雜度為O(N^3)，實現了優化！今后只需要根據方程的形式以及w函數是否滿足兩條性質即可考慮使用四邊形不等式來優化了。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/2020pengxiyue/p/9348530.html

總結

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