題意

題目鏈接

$Q$組詢問，每次給出$[x, y]$，定義$f(x, y)$為計算$(x, y)$的最大公約數需要的步數，設$i \leqslant x, j \leqslant y$，求$max(f(i, j))$，以及$max(f(i, j))$不同的數對$(i, j)$的個數

Sol

結論題Orz

設$f(x, y)$表示$(x, y)$輾轉相除需要的步數，$fib(i)$表示第$i$個斐波那契數

常識：$f(fib[i], fib[i+1]) = i$。

定義一個數對是“好的”，當且僅當對于$(x, y)$，不存在更小的$x', y'$使得$f(x', y') > f(x, y)$

顯然我們需要統計的數對一定是好的數對

定義一個數對是“優秀的”，當且僅當對于$(x, y)$，若$f(x, y) = k$, 滿足$x, y \leqslant fib[k+2] + fib[k-1]$

結論！：一個好的數對輾轉相除一次后一定是優秀的數對！

證明可以用反證法，也就是我先假設一個$f(a, b) = i$是好的，但是得到的數對$(x, y)$滿足$y > fib[k+2] + fib[k-1]$

但是這樣我們會得到一個$x' = f[i+2], y' = f[i+2]$滿足$f(x', y')>f(a, b)$，所以不成立

那么現在要做的就是求“優秀的”數對的個數。

考慮直接用歐幾里得算法的定義遞推即可

不過代碼是真·難寫啊，去網上copy一份吧。。。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<vector> #define Pair pair<LL, LL> #define MP(x, y) make_pair(x, y) #define fi first #define se second #define LL long long #define int long long using namespace std; const int MAXN = 1e6 + 10, B = 90, mod = 1e9 + 7; inline LL read() {char c = getchar(); LL x = 0, f = 1;while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();return x * f; } vector<Pair> v[B + 1]; LL f[B + 1]; void Pre() {f[0] = f[1] = 1;for(int i = 2; i <= B; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];v[1].push_back(MP(1, 2)); v[1].push_back(MP(1, 3)); v[1].push_back(MP(1, 4));for(int i = 1; i <= B - 3; i++) {for(int j = 0; j < v[i].size(); j++) {LL x = v[i][j].fi, y = v[i][j].se;LL tmp = x; x = y; y = tmp + y;while(y <= f[i + 3] + f[i - 1]) v[i + 1].push_back(MP(x, y)), y += x;}} } main() {// freopen("1.in", "r", stdin); Pre();int Q = read();while(Q--) {LL x = read(), y = read(), K;if(x > y) swap(x, y);for(K = 1; f[K + 1] <= x && f[K + 2] <= y; K++);cout << K << " ";if(K == 1) {cout << x * y % mod << endl; continue;}LL ans = 0;for(int i = 0; i < v[K - 1].size(); i++) {LL a = v[K - 1][i].fi, b = v[K - 1][i].se;// printf("%I64d %I64d\n", a, b);if(b <= x) ans += (y - a) / b % mod;if(b <= y) ans += (x - a) / b % mod;//if(a + b <= x && b <= y) ans++;//if(a + b <= y && a <= x) ans++;ans %= mod;}cout << ans % mod<< endl;}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的agc015F - Kenus the Ancient Greek(结论题)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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